Calcular
em que:
sen
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a função e a região são:
-
. -
, ou seja e .
A pergunta é: qual é o valor numérico exato de
?
Passo 2
Estratégia e justificativa (passo-a-passo do método que vou usar).
Como é um retângulo e
é contínua, posso usar a fórmula de integrais iteradas (teorema de Fubini) e escrever a integral dupla como uma integral iterada. Escrevo escolhendo integrar primeiro em
e depois em
:
Como
Observação importante: dentro da integral interna em
, a variável
é tratada como constante, portanto posso fatorar
para fora dessa integral em
. Isso simplifica bastante.
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
Primeiro fatoro que é constante em relação a
:
Primeiro fatoro
Agora lembro da primitiva de
: uma antiderivada de
é
. Portanto
Sei os valores exatos:
e
. Assim
Voltando à integral interna:
Passo 4
Substituir a integral interna na integral externa e calcular.
Temos então
Temos então
Como
é constante em
, posso fatorá-la:
A primitiva de
é
, logo
Passo 5
Multiplicar o fator constante pelo resultado da integral de
.
Faço uma simplificação algébrica passo a passo:
Colocando sobre um denominador comum
:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem (truque útil para provas).
Uma forma alternativa rápida (que confirma o cálculo) é usar que, para em um retângulo,
Uma forma alternativa rápida (que confirma o cálculo) é usar que, para
Aqui
e
. Calculando separadamente:
produto =
, exatamente o resultado obtido antes. Isso é uma boa dica na prova: quando a função separa, calcule as integrais unidimensionais e multiplique.