Calcular \iint_{R} f(x, y) d x d y em que:
f(x, y)=x sen y e R=[1,4] \times[0, \pi / 6]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy
onde a função e a região são:
  • f(x,y)=x\sin y.
  • R=[1,4]\times[0,\pi/6], ou seja 1\le x\le4 e 0\le y\le\pi/6.
A pergunta é: qual é o valor numérico exato de \iint_{R} x\sin y\,dx\,dy?

Passo 2

Estratégia e justificativa (passo-a-passo do método que vou usar).
Como R é um retângulo e f(x,y)=x\sin y é contínua, posso usar a fórmula de integrais iteradas (teorema de Fubini) e escrever a integral dupla como uma integral iterada. Escrevo escolhendo integrar primeiro em y e depois em x:
\iint_{R} x\sin y\,dx\,dy=\int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=0}^{\pi/6} x\sin y\,dy\right)dx.
Observação importante: dentro da integral interna em y, a variável x é tratada como constante, portanto posso fatorar x para fora dessa integral em y. Isso simplifica bastante.

Passo 3

Calcular a integral interna em y.
Primeiro fatoro x que é constante em relação a y:
\int_{y=0}^{\pi/6} x\sin y\,dy = x\int_{0}^{\pi/6}\sin y\,dy.
Agora lembro da primitiva de \sin y: uma antiderivada de \sin y é -\cos y. Portanto
\int_{0}^{\pi/6}\sin y\,dy = \big[-\cos y\big]_{0}^{\pi/6} = -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)+\cos 0.
Sei os valores exatos: \cos 0 = 1 e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
\int_{0}^{\pi/6}\sin y\,dy = 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Voltando à integral interna:
\int_{y=0}^{\pi/6} x\sin y\,dy = x\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 4

Substituir a integral interna na integral externa e calcular.
Temos então
\iint_{R} x\sin y\,dx\,dy = \int_{x=1}^{4} x\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\,dx.
Como 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} é constante em x, posso fatorá-la:
\int_{1}^{4} x\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\,dx = \left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\int_{1}^{4} x\,dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{1}^{4} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{4} = \dfrac{4^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2} = \dfrac{16-1}{2}=\dfrac{15}{2}.

Passo 5

Multiplicar o fator constante pelo resultado da integral de x.
\iint_{R} x\sin y\,dx\,dy = \left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac{15}{2}.
Faço uma simplificação algébrica passo a passo:
\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac{15}{2} = \dfrac{15}{2}-\dfrac{15\sqrt{3}}{4}.
Colocando sobre um denominador comum 4:
\dfrac{15}{2}-\dfrac{15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{30}{4}-\dfrac{15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{15(2-\sqrt{3})}{4}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem (truque útil para provas).
Uma forma alternativa rápida (que confirma o cálculo) é usar que, para f(x,y)=g(x)h(y) em um retângulo,
\iint_{R} g(x)h(y)\,dx\,dy = \left(\int_{1}^{4} g(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi/6} h(y)\,dy\right).
Aqui g(x)=x e h(y)=\sin y. Calculando separadamente:
\int_{1}^{4} x\,dx = \dfrac{15}{2},\qquad \int_{0}^{\pi/6}\sin y\,dy = 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2},
produto = \dfrac{15}{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), exatamente o resultado obtido antes. Isso é uma boa dica na prova: quando a função separa, calcule as integrais unidimensionais e multiplique.

Resposta

\dfrac{15(2-\sqrt{3})}{4}

Exercícios relacionados