Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas:
\int_{1}^{e} \int_{0}^{\ln x} \frac{e^{y}}{e-e^{y}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar a região de integração associada à integral iterada
\int_{1}^{e} \int_{0}^{\ln x} \frac{e^{y}}{e-e^{y}}\,dy\,dx.
  • Calcular a(s) integral(is) iterada(s) — ou seja, avaliar a dupla integral.
Informações fornecidas:
  • A variável externa é x com 1 \le x \le e.
  • Para cada x nesse intervalo, a variável interna y varia de 0 até \ln x.
  • A integranda é \dfrac{e^{y}}{e-e^{y}}, que depende apenas de y.

Passo 2

Descrever a região de integração no plano (x,y).
As desigualdades que definem a região são
1 \le x \le e,\qquad 0 \le y \le \ln x.
Para entender melhor os limites em termos de y é útil inverter a relação y \le \ln x. Isso é equivalente a x \ge e^{y}. Como x\le e, obtemos, para cada y,
e^{y} \le x \le e.
Agora precisamos do intervalo de y. Como x vai de 1 a e, \ln x vai de \ln 1=0 até \ln e=1. Logo y varia entre 0 e 1:
0 \le y \le 1.
Esboço (descrição): no plano (x,y) traçar
  • a curva y=\ln x (ou, equivalentemente, x=e^{y}),
  • a reta vertical x=1 (que corresponde a y=0 no extremo) e a reta vertical x=e,
  • a reta horizontal y=0.
    A região é o conjunto de pontos entre y=0 e y=\ln x para 1\le x\le e; em termos de y-variante é o conjunto entre y=0 e y=1 e para cada y os x variam de x=e^{y} até x=e. Observações de pontos-chave: para y=0 tem-se x=e^{0}=1; para y=1 tem-se x=e^{1}=e.

Passo 3

Trocar a ordem de integração e escrever a integral equivalente.
Pelas observações do passo anterior, a mesma região pode ser descrita por
0 \le y \le 1,\qquad e^{y} \le x \le e.
Portanto a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1} \int_{e^{y}}^{e} \frac{e^{y}}{e-e^{y}}\,dx\,dy.
Justificativa prática: a integranda é contínua na região considerada, então é permitido usar Fubini/Tonelli e trocar a ordem de integração.

Passo 4

Calcular a integral interna em x (após trocar a ordem). Explicar passo a passo.
Na integral
\int_{0}^{1} \int_{e^{y}}^{e} \frac{e^{y}}{e-e^{y}}\,dx\,dy
observe que a expressão \dfrac{e^{y}}{e-e^{y}} não depende de x. Assim a integral interna em x é simplesmente a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo em x:
\int_{e^{y}}^{e} \frac{e^{y}}{e-e^{y}}\,dx = \frac{e^{y}}{e-e^{y}}\cdot\bigl[x\bigr]_{x=e^{y}}^{x=e} = \frac{e^{y}}{e-e^{y}}\cdot\bigl(e-e^{y}\bigr).
Os fatores (e-e^{y}) se cancelam, restando
\frac{e^{y}}{e-e^{y}}\cdot\bigl(e-e^{y}\bigr)=e^{y}.

Passo 5

Calcular a integral remanescente em y.
Agora a dupla integral reduziu-se a
\int_{0}^{1} e^{y}\,dy.
A primitiva de e^{y} é e^{y}. Portanto
\int_{0}^{1} e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0}=e-1.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para consolidar a técnica).
Se alguém preferir calcular mantendo a ordem original (primeiro integrar em y), faça a substituição u=e-e^{y}. Tem-se du=-e^{y}dy, daí
\int_{0}^{\ln x}\frac{e^{y}}{e-e^{y}}\,dy = -\int_{u=e-1}^{u=e-x}\frac{1}{u}\,du = \ln\!\left(\frac{e-1}{e-x}\right).
Integrando em x depois e avaliando os limites também leva a e-1. Essa verificação confirma o resultado obtido trocando a ordem (método que aqui foi mais direto).

Resposta

e-1

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