Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a região de integração associada à integral iterada
- Calcular a(s) integral(is) iterada(s) — ou seja, avaliar a dupla integral.
Informações fornecidas:
- A variável externa é
com . - Para cada
nesse intervalo, a variável interna varia de até . - A integranda é
, que depende apenas de .
Passo 2
Descrever a região de integração no plano
.
As desigualdades que definem a região são
Para entender melhor os limites em termos de
é útil inverter a relação
. Isso é equivalente a
. Como
, obtemos, para cada
,
Agora precisamos do intervalo de
. Como
vai de
a
,
vai de
até
. Logo
varia entre
e
:
Esboço (descrição): no plano
traçar
- a curva
(ou, equivalentemente, ), - a reta vertical
(que corresponde a no extremo) e a reta vertical , - a reta horizontal
.
A região é o conjunto de pontos entree para ; em termos de -variante é o conjunto entre e e para cada os variam de até . Observações de pontos-chave: para tem-se ; para tem-se .
Passo 3
Trocar a ordem de integração e escrever a integral equivalente.
Pelas observações do passo anterior, a mesma região pode ser descrita por
Portanto a integral com ordem trocada é
Justificativa prática: a integranda é contínua na região considerada, então é permitido usar Fubini/Tonelli e trocar a ordem de integração.
Passo 4
Calcular a integral interna em
(após trocar a ordem). Explicar passo a passo.
Na integral
observe que a expressão
não depende de
. Assim a integral interna em
é simplesmente a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo em
:
Os fatores
se cancelam, restando
Passo 5
Calcular a integral remanescente em
.
Agora a dupla integral reduziu-se a
A primitiva de
é
. Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para consolidar a técnica).
Se alguém preferir calcular mantendo a ordem original (primeiro integrar em
), faça a substituição
. Tem-se
, daí
Integrando em
depois e avaliando os limites também leva a
. Essa verificação confirma o resultado obtido trocando a ordem (método que aqui foi mais direto).