Calcular
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S onde
\vec{F}(x, y, z)=(x+1, y, 2) e
S a superfície
z=y^{2}+1 limitada por
x=0, x=1 \mathrm{e} z=17. Oriente a normal de forma que sua coordenada
z seja negativa.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
onde \vec F(x,y,z)=(x+1,y,2) e S é o gráfico da superfície
z=y^2+1
recortada pelas planícies x=0, x=1 e pelo plano horizontal z=17.
O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo), que faremos por parametrização e escolha de vetor normal com componente z negativa.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;y^2+1\bigr),
com domínio
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;-4\le y\le4\},
pois z=17 implica y^2=16, logo y=\pm4.
As derivadas são
\mathbf r_x=(1,0,0), \quad \mathbf r_y=(0,1,2y).

Passo 3

O vetor normal “padrão” é
\mathbf r_x\times\mathbf r_y=(0,-2y,1),
cuja componente z é positiva. Para ter componente z negativa, tomamos
\vec n=-(\mathbf r_x\times\mathbf r_y)=(0,2y,-1).

Passo 4

No ponto (x,y,y^2+1) vale
\vec F=(x+1,\;y,\;2),
logo
\vec F\cdot\vec n =(x+1)\cdot0 + y\cdot(2y) + 2\cdot(-1) =2y^2 - 2.
O fluxo fica
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}(2y^2-2)\,dx\,dy.

Passo 5

Calculamos
\int_{y=-4}^{4}\int_{x=0}^{1}(2y^2-2)\,dx\,dy =\int_{-4}^{4}(2y^2-2)\,dy =2\int_{-4}^{4}y^2\,dy -2\int_{-4}^{4}dy.
Como
\displaystyle\int_{-4}^{4}y^2\,dy=\tfrac{128}{3} e \displaystyle\int_{-4}^{4}dy=8,
temos
2\cdot\tfrac{128}{3} -2\cdot8 =\tfrac{256}{3}-16 =\tfrac{256-48}{3} =\tfrac{208}{3}.

Resposta

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = \frac{208}{3}.

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