Calcular
onde
e
a superfície
limitada por
. Oriente a normal de forma que sua coordenada
seja negativa.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é o gráfico da superfície
recortada pelas planícies
,
e pelo plano horizontal
.
O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo), que faremos por parametrização e escolha de vetor normal com componente negativa.
O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo), que faremos por parametrização e escolha de vetor normal com componente
Passo 2
Parametrizamos
por
com domínio
pois
implica
, logo
.
As derivadas são
As derivadas são
Passo 3
O vetor normal “padrão” é
cuja componente
é positiva. Para ter componente
negativa, tomamos
Passo 4
No ponto
vale
logo
O fluxo fica
Passo 5
Calculamos
Como
e
,
temos
temos