Calcule o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\left(y^{3} \operatorname{sen} z, x^{3} \cos z, z^{3}\right) através da superfície definida por
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, onde
1 \leq z \leq 2, sendo que o vetor normal aponta para fora do cone.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(y^{3}\operatorname{sen} z,\;x^{3}\cos z,\;z^{3}\bigr)
através da superfície lateral do cone
\;S:\;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad 1\le z\le2,
com a normal apontando para fora do volume abaixo do cone (isto é, para o lado de fora do sólido).
Conteúdo: usar o Teorema da Divergência para substituir o cálculo direto de superfície por um triplo integral e fluxos nos discos de topo e base.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec{F} e o fluxo total pelo fecho do cone (lateral S mais discos em z=1 e z=2).
\div\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y^{3}\operatorname{sen} z) +\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}\cos z) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) =0+0+3z^{2}=3z^{2}.
No volume V delimitado por 1\le z\le2 e x^{2}+y^{2}\le z^{2}, em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
\int_{V}\div\vec{F}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{z=1}^{2}\!\!\int_{r=0}^{z}3z^{2}\,r\,dr\,dz\,d\theta =2\pi\int_{1}^{2}3z^{2}\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{z}dz =3\pi\int_{1}^{2}z^{4}dz =3\pi\Bigl[\tfrac{z^{5}}{5}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{93\pi}{5}.

Passo 3

Calcular o fluxo pelo disco superior em z=2, com normal apontando para fora do volume (para cima, +\hat k).
Em z=2, \vec{F}=(y^{3}\sen2,\;x^{3}\cos2,\;8).
\Phi_{\text{topo}} =\iint_{r\le2}\vec{F}\cdot\hat k\,dA =\iint_{r\le2}8\,dA =8\cdot\pi(2)^{2} =32\pi.

Passo 4

Calcular o fluxo pelo disco inferior em z=1, normal para fora do volume (para baixo, -\hat k).
Em z=1, \vec{F}=(y^{3}\sen1,\;x^{3}\cos1,\;1).
\Phi_{\text{base}} =\iint_{r\le1}\vec{F}\cdot(-\hat k)\,dA =\iint_{r\le1}(-1)\,dA =-\pi(1)^{2} =-\pi.

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pelo fecho é
\Phi_{\text{total}} =\Phi_{S}+\Phi_{\text{topo}}+\Phi_{\text{base}} =\frac{93\pi}{5}.
Logo
\Phi_{S} =\frac{93\pi}{5}-\bigl(32\pi+(-\pi)\bigr) =\frac{93\pi}{5}-31\pi =\frac{93\pi-155\pi}{5} =-\frac{62\pi}{5}.

Resposta

\boxed{-\frac{62\pi}{5}}

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