Calcular
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S onde
\vec{F}(x, y, z)=\left(3 y^{2} z, y, z\right) e
S a superfície plana
y+z=2, interior ao cilindro
x^{2}+y^{2}=1, com vetor normal
\vec{n} tal que
\vec{n} \cdot \vec{k}<0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\displaystyle \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
do campo \vec F(x,y,z)=(3y^2z,\;y,\;z)
através da parte do plano y+z=2 que está sobre o cilindro x^2+y^2=1,
com a normal escolhida tal que \vec n\cdot\vec k<0.
O conteúdo é cálculo de fluxo de campo vetorial por superfície, usando parametrização ou a fórmula de gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Escrevemos o plano como gráfico
z=f(x,y)=2-y
para (x,y) variando na região
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.

Passo 3

Usamos a parametrização \vec r(x,y)=(x,y,2-y).
Então
\vec r_x\times\vec r_y =\bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr) =(0,1,1).
Como queremos \vec n\cdot\vec k<0, invertemos o sinal para obter o vetor diferencial de área orientado:
d\vec S =-\bigl(\vec r_x\times\vec r_y\bigr)\,dA =(0,-1,-1)\,dA.

Passo 4

Avaliamo-s \vec{F} na superfície z=2-y:
\vec{F}(x,y,2-y) =\bigl(3y^{2}(2-y),\;y,\;2-y\bigr).
O produto escalar com d\vec{S} é
\vec{F} \cdot d\vec{S} =\bigl(3y^{2}(2-y),\,y,\,2-y\bigr) \cdot (0,-1,-1)\,dA =-y-(2-y)\,dA =-2\,dA.

Passo 5

Integramos sobre o disco D:
\iint_{D}(-2)\,dA =-2\iint_{D}dA =-2\cdot\bigl(\pi\cdot1^2\bigr) =-2\pi.

Resposta

-2\pi

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