Calcular \int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{1}e^{\frac{y}{x}}\,dx\,dy.
Isso envolve troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e depois integração de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Descrevemos a região de integração:
0\le y\le1,\quad \sqrt{y}\le x\le1
é equivalente a
0\le x\le1,\quad 0\le y\le x^2.
Portanto podemos trocar a ordem:
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{1}e^{\frac{y}{x}}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^2}e^{\frac{y}{x}}\,dy\,dx.

Passo 3

Para cada x fixo, calculamos
\int_{0}^{x^2}e^{\frac{y}{x}}\,dy.
Fazendo a substituição interna u=\tfrac{y}{x}, du=\tfrac{1}{x}\,dy, obtemos
\int e^{\frac{y}{x}}\,dy =xe^{\frac{y}{x}}+C.
Assim
\int_{0}^{x^2}e^{\frac{y}{x}}\,dy =\Bigl[xe^{\frac{y}{x}}\Bigr]_{y=0}^{y=x^2} =x\bigl(e^{\frac{x^2}{x}}-e^0\bigr) =x\bigl(e^x-1\bigr).

Passo 4

Agora a integral original vira
\int_{0}^{1}x\bigl(e^x-1\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x e^x\,dx-\int_{0}^{1}x\,dx.
Usamos integração por partes em \int_{0}^{1}x e^x\,dx: seja u=x, dv=e^x\,dx, então
\int_{0}^{1}x e^x\,dx =\bigl[x e^x\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^x\,dx =(1\cdot e-e)-(e-1) =1.
E
\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac12.
Logo
\int_{0}^{1}x\bigl(e^x-1\bigr)\,dx =1-\frac12 =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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