Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{2} u^{4}-3 u^{9}\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\Bigl(1 + \tfrac{1}{2}u^{4} - 3u^{9}\Bigr)\,du
Isso envolve conteúdo de cálculo integral: saber encontrar antiderivadas de funções polinomiais e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de 0 a 1.

Passo 2

Vamos encontrar a antiderivada termo a termo. Para o primeiro termo,
\int 1\,du = u + C.

Passo 3

Para o segundo termo,
\int \tfrac{1}{2}u^{4}\,du = \tfrac{1}{2}\,\frac{u^{5}}{5} = \frac{u^{5}}{10} + C.

Passo 4

Para o terceiro termo,
\int -3u^{9}\,du = -3\,\frac{u^{10}}{10} = -\frac{3u^{10}}{10} + C.

Passo 5

Combinando, a antiderivada geral é
F(u) = u + \frac{u^{5}}{10} - \frac{3u^{10}}{10}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\Bigl(1 + \tfrac{1}{2}u^{4} - 3u^{9}\Bigr)\,du = F(1) - F(0).

Passo 6

Calculando em u=1:
F(1) = 1 + \frac{1^{5}}{10} - \frac{3\cdot1^{10}}{10} = 1 + \frac{1}{10} - \frac{3}{10} = 1 - \frac{2}{10} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.
Em u=0, todos os termos são zero, logo F(0)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}

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