Exercicio 1.14
Calcular
, onde
é a região limitada pelas retas
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante limitada por
,
,
e
. O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis e Jacobiano para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos fazer a troca de variáveis
Invertendo,
e o Jacobiano é
ou seja
Passo 3
Em
a reta
vira
, e
vira
.
As condições e
dão
As condições
Logo o domínio fica
Passo 4
No integrando substituímos
ficando
Passo 5
Para integrar em
, fazemos
, então
e
vai de
a
. Assim
Passo 6
Substituindo de volta e integrando em
: