Exercicio 1.14

Calcular \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) d x d y, onde D é a região limitada pelas retas x+y=1, x+y=4, x=0, y=0.

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla
\iint_{D}\cos\!\Bigl(\frac{x-y}{x+y}\Bigr)\,dx\,dy
onde D é a região no primeiro quadrante limitada por x+y=1, x+y=4, x=0 e y=0. O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis e Jacobiano para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos fazer a troca de variáveis
u = x+y,\quad v = x-y.
Invertendo,
x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2},
e o Jacobiano é
\Bigl|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr| =\frac12,
ou seja
dx\,dy = \tfrac12\,du\,dv.

Passo 3

Em (u,v) a reta x+y=1 vira u=1, e x+y=4 vira u=4.
As condições x\ge0 e y\ge0 dão
x=0\implies v=-u, \quad y=0\implies v=+u.
Logo o domínio fica
1 \le u \le 4, \quad -\,u \le v \le u.

Passo 4

No integrando substituímos
\frac{x-y}{x+y}=\frac{v}{u},
ficando
\iint_{D}\cos\!\Bigl(\tfrac{x-y}{x+y}\Bigr)\,dx\,dy =\int_{u=1}^{4}\int_{v=-u}^{u} \cos\!\Bigl(\tfrac{v}{u}\Bigr)\,\tfrac12\,dv\,du.

Passo 5

Para integrar em v, fazemos t=v/u, então dv = u\,dt e t vai de -1 a 1. Assim
\int_{v=-u}^{u}\cos\!\Bigl(\tfrac{v}{u}\Bigr)\,dv =\int_{t=-1}^{1}\cos(t)\,u\,dt = u\int_{-1}^{1}\cos(t)\,dt =2u\sin(1).

Passo 6

Substituindo de volta e integrando em u:
\iint_{D}\cdots =\int_{1}^{4}\tfrac12\,(2u\sin(1))\,du =\sin(1)\int_{1}^{4}u\,du =\sin(1)\Bigl[\tfrac{u^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\frac{15}{2}\sin(1).

Resposta

\displaystyle \frac{15}{2}\sin(1)

Exercícios relacionados