Ao calcular por integração dupla o volume
do sólido situado abaixo do gráfico de
e limitado inferiormente por uma certa região D no plano
, chegou-se à seguinte expressão:
(a) Esboce a região
. Expresse
numa única integral dupla em coordenadas polares.
(b) Efetue a integração para calcular
.
(b) Efetue a integração para calcular
Passo 1
O exercício pede para calcular o volume V sob a superfície f(x,y)=e{x{2}+y^{2}} sobre uma região D no primeiro quadrante, descrita por duas integrais: uma sobre o quarto de disco de raio 2 e outra sobre o quarto de disco de raio 1. Precisamos esboçar D, reescrever V como uma única integral em coordenadas polares e, por fim, calcular essa integral.
Passo 2
A região D é a parte do primeiro quadrante contida dentro do círculo de raio 2, mas excluindo o interior do círculo de raio 1. No esboço, D aparece como um “anel” ou setor anelar no primeiro quadrante, com raio interno 1, raio externo 2 e ângulo θ variando de 0 a π/2.
Passo 3
Para aproveitar a simetria circular, passamos para coordenadas polares: x=rosθ, y=rosθ e dA=r dr dθ. Como f(x,y)=e{r{2}}, a integral única fica:
Passo 4
Agora calculamos a parte em r usando a substituição u=r^{2}, du=2r dr:
Em seguida, integramos em θ:
Resposta
V =