Ao calcular por integração dupla o volume V do sólido situado abaixo do gráfico de f(x, y)= e^x^2+y^2 e limitado inferiormente por uma certa região D no plano x y, chegou-se à seguinte expressão:
V=integral0^2 integral0^raiz4-x^2 e^x^2+y^2 d y d x-integral0^1 integral0^raiz1-x^2 e^x^2+y^2 d y d x
(a) Esboce a região D. Expresse V numa única integral dupla em coordenadas polares.
(b) Efetue a integração para calcular V.

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume V sob a superfície f(x,y)=e{x{2}+y^{2}} sobre uma região D no primeiro quadrante, descrita por duas integrais: uma sobre o quarto de disco de raio 2 e outra sobre o quarto de disco de raio 1. Precisamos esboçar D, reescrever V como uma única integral em coordenadas polares e, por fim, calcular essa integral.

Passo 2

A região D é a parte do primeiro quadrante contida dentro do círculo de raio 2, mas excluindo o interior do círculo de raio 1. No esboço, D aparece como um “anel” ou setor anelar no primeiro quadrante, com raio interno 1, raio externo 2 e ângulo θ variando de 0 a π/2.

Passo 3

Para aproveitar a simetria circular, passamos para coordenadas polares: x=rosθ, y=rosθ e dA=r dr dθ. Como f(x,y)=e{r{2}}, a integral única fica:
V=integral0^pi/2integral1^2e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos a parte em r usando a substituição u=r^{2}, du=2r dr:
integral1^2e^r^2r,dr=12integralu=1^4e^u,du=e^4-e^12=e^4-e2
Em seguida, integramos em θ:
V=integral0^pi/2e^4-e2,dtheta=e^4-e2cdotpi2=pi4(e^4-e)

Resposta

V = pi4(e^4-e)

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