Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD x^2x^2+y^2 d A, onde

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD x^2x^2 + y^2 ,dA sobre a região anular D = (x,y):a^2 <= x^2+y^2 <= b^2. O conteúdo é integração em coordenadas polares; vamos usar a mudança de variáveis x = rcostheta, y = rsintheta e o fator de correção da área.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x^2+y^2 = r^2, então o integrando fica
x^2x^2+y^2 = r^2cos^2thetar^2 = cos^2theta,
e o elemento de área dA vira r,dr,dtheta. A região anular vira rin[a,b] e thetain[0,2pi].

Passo 3

A integral transforma-se em
integral0^2piintegrala^b cos^2theta,r,dr,dtheta
Como as variáveis separam, escrevemos como o produto de uma integral em r e outra em theta.

Passo 4

Calcule a parte radial:
integrala^b r,dr = r^22|a^b = b^2 - a^22

Passo 5

Calcule a parte angular usando cos^2theta = tfrac1+cos2theta2:
integral0^2pi cos^2theta,dtheta = 12integral0^2pi1,dtheta + 12integral0^2picos2theta,dtheta = 2pi2 + 0 = pi

Passo 6

Multiplicando as duas partes, obtemos
pi cdot b^2 - a^22 = pi,(b^2 - a^2)2

Resposta

pi,(b^2 - a^2)2

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