Utilize coordenadas polares para combinar a soma
integral1raiz2^1 integralraiz1-x^2^x x y d y d x+integral1^raiz2 integral0^x x y d y d x+integralraiz2^2 integral0^raiz4-x^2 x y d y d x
em uma única integral dupla. Em seguida, calcule essa integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede para juntar três integrais iteradas em uma única integral dupla sobre uma região R no plano xy e calcular essa integral usando coordenadas polares. O conteúdo envolvido é mudança de variável para coordenadas polares, identificando limites de r e θ e usando o jacobiano.

Passo 2

Descrito o domínio em cada parte, a região total R no primeiro quadrante é a união de três sub-regiões que, em coordenadas polares, se combinam num setor anular com θ de 0 a π/4 e r de 1 a 2. Em bloco:
$$
R={(r,\theta):0\le\theta\le\pi/4,;1\le r\le2}\n$$

Passo 3

Fazendo a mudança de variável x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e includindo o jacobiano r, a integral fica
integral duplaR x y,dA=integral0^pi/4integral1^2(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta=integral0^pi/4integral1^2r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral1^2r^3,dr=r^44|1^2=16-14=154,
e depois em θ usando sinθcosθ=½ sin2θ:
integral0^pi/4costhetasintheta,dtheta=12integral0^pi/4sin(2theta),dtheta=12cdot12[1-0]=14

Passo 5

Multiplicando os resultados dá
154cdot14=1516

Resposta

15/16

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