Utilize coordenadas polares para combinar a soma
em uma única integral dupla. Em seguida, calcule essa integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede para juntar três integrais iteradas em uma única integral dupla sobre uma região R no plano xy e calcular essa integral usando coordenadas polares. O conteúdo envolvido é mudança de variável para coordenadas polares, identificando limites de r e θ e usando o jacobiano.
Passo 2
Descrito o domínio em cada parte, a região total R no primeiro quadrante é a união de três sub-regiões que, em coordenadas polares, se combinam num setor anular com θ de 0 a π/4 e r de 1 a 2. Em bloco:
$$
R={(r,\theta):0\le\theta\le\pi/4,;1\le r\le2}\n$$
Passo 3
Fazendo a mudança de variável x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e includindo o jacobiano r, a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em r:
e depois em θ usando sinθcosθ=½ sin2θ:
Passo 5
Multiplicando os resultados dá