Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
  • integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral duplaD e^-x^2-y^2 , dA
Onde $ D $ é a região delimitada pelo semicírculo $ x = \sqrt{4 - y^{2}} $ e o eixo $ y $. Isso significa que estamos lidando com geometria no plano $ xy $ e com funções exponenciais. Para resolver isso, vamos transformar a integral para coordenadas polares, que facilitam o cálculo em regiões circulares ou semicirculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar $ x $ e $ y $, usamos $ r $ (a distância até a origem) e $ \theta $ (o ângulo com o eixo $ x $). As relações são:
x
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é:
y
Isso significa que vamos reescrever nossa integral dupla em termos de $ r $ e $ \theta $.

Passo 3

Vamos agora identificar os limites de integração para $ r $ e $ \theta $. A região $ D $ é um semicírculo definido por $ x = \sqrt{4 - y^{2}} $, o que equivale a $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Então, o raio máximo $ r $ vale 2.
Como é um semicírculo e está limitado pelo eixo $ y $, o ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ (ou de 0 a $ \pi $, dependendo da orientação, mas aqui parece ser de r a $ \frac{\pi}{2} $).
Então, nossos limites são:
theta

Passo 4

Agora, vamos transformar a função que estamos integrando para coordenadas polares. Temos:
e^-x^2-y^2 = e^-r^2
Então, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r
Fazendo uma substituição $ u = -r^{2} $, então $ du = -2r , dr $, ou seja, $ -\frac{1}{2} du = r , dr $. A integral fica:
integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
theta

Passo 7

Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais:
12 (1 - e^-4) cdot pi = pi2 (1 - e^-4)

Resposta

A integral dupla vale:
pi2 (1 - e^-4)

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