Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
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, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Onde $ D $ é a região delimitada pelo semicírculo $ x = \sqrt{4 - y^{2}} $ e o eixo $ y $. Isso significa que estamos lidando com geometria no plano $ xy $ e com funções exponenciais. Para resolver isso, vamos transformar a integral para coordenadas polares, que facilitam o cálculo em regiões circulares ou semicirculares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar $ x $ e $ y $, usamos $ r $ (a distância até a origem) e $ \theta $ (o ângulo com o eixo $ x $). As relações são:
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é:
Isso significa que vamos reescrever nossa integral dupla em termos de $ r $ e $ \theta $.
Passo 3
Vamos agora identificar os limites de integração para $ r $ e $ \theta $. A região $ D $ é um semicírculo definido por $ x = \sqrt{4 - y^{2}} $, o que equivale a $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Então, o raio máximo $ r $ vale 2.
Como é um semicírculo e está limitado pelo eixo $ y $, o ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ (ou de 0 a $ \pi $, dependendo da orientação, mas aqui parece ser de
a $ \frac{\pi}{2} $).
Então, nossos limites são:
Passo 4
Agora, vamos transformar a função que estamos integrando para coordenadas polares. Temos:
Então, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Fazendo uma substituição $ u = -r^{2} $, então $ du = -2r , dr $, ou seja, $ -\frac{1}{2} du = r , dr $. A integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
A integral dupla vale: