Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
integralC(e^x sen y-y) d x+(e^x cos y-1) d y, onde C consiste de um pedaço da curva x^2+y^2=2 x com ponto inicial A(2,0) e ponto final B(0,0).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCl(e^xsin y - yr),dx + l(e^xcos y - 1r),dy
ao longo do arco C da circunferência
x^2+y^2=2x
que vai de A=(2,0) a B=(0,0).
Como o campo não é conservativo, vamos usar o Teorema de Green: fechamos C com o segmento D de B a A ao longo do eixo x, aplicamos Green ao contorno C+D e depois subtraímos a contribuição de D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^xsin y - y, Q(x,y)=e^xcos y - 1
Calculamos
partial Qpartial x = e^xcos y, partial Ppartial y = e^xcos y - 1,
logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1

Passo 3

O caminho fechado Gamma=C+D é percorrido no sentido anti-horário e encierra a região R que é o semicírculo superior de centro (1,0) e raio 1. Pelo Teorema de Green:
ointGammaP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =integral duplaR1,dA =área(R) á
Como R é um semicírculo de raio 1,
área(R)=picdot1^22=pi2 á

Passo 4

No segmento Dcolon y=0,;x vai de 0 a 2, temos
sin y=0 e dy=0, logo
P,dx+Q,dy =(e^xcdot0 - 0),dx + (dots)cdot0 =0,dx,
e
integralDP,dx+Q,dy =integral0^20,dx =0

Passo 5

Da relação
ointGamma=integralC+integralD
temos
integralC =ointGamma-integralD =pi2-0 =pi2

Resposta

pi2

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