1. d yd x+3 yx+2=3 x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem linear
dydx + 3x,y + 2 = 3x,
com condição inicial y(1)=1. O conteúdo aqui é equação diferencial linear da forma
dydx + P(x),y = Q(x),
para a qual usaremos o fator integrante.

Passo 2

Primeiro escrevemos no formato padrão identificando
P(x)=3x, Q(x)=3x-2,
ou seja reescrevemos
dydx + 3x,y = 3x - 2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 3x,dxr) = exp(3ln|x|) = x^3
Multiplicamos ambos os lados da equação por x^3:
x^3dydx + 3x^2,y = x^3(3x-2) = 3x^4 - 2x^3

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto x^3y:
ddxl(x^3yr) = 3x^4 - 2x^3
Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3y = integrall(3x^4 - 2x^3r),dx = 35x^5 - 24x^4 + C = 35x^5 - 12x^4 + C

Passo 5

Isolando y, dividimos por x^3:
y(x) = 35x^5 - 12x^4 + Cx^3 = 35x^2 - 12x + C,x^-3

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1 = 35cdot1^2 - 12cdot1 + Ccdot1^-3 = 35 - 12 + C = 110 + C ;Longrightarrow; C = 1 - 110 = 910

Resposta

y(x) = 35x^2 - 12x + 910,x^-3

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