Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
x y^prime prime+(2+x) y^prime+y=0, sendo y1=1x solução particular da equação homogenea associada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem
x,y''+(2+x),y'+y=0,
sabendo que y1=tfrac1x é uma solução da equação homogênea. Vamos usar a técnica de redução de ordem, que exige primeiro escrever a equação na forma padrão.

Passo 2

Dividindo tudo por x (supondo xneq0), obtemos a forma padrão
y''+(2+xx)y'+1x,y=0
Aqui identificamos
p(x)=2+xx= 2x+1, q(x)=1x

Passo 3

Pela redução de ordem, se y1 é solução, então a segunda solução y2 pode ser escrita como
y2=y1integral expl(-integral p(x),dxr)y1^2,dx

Passo 4

Calculamos primeiro
integral p(x),dx=integrall(2x+1r),dx=2ln|x|+x,
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expl(-!!integral p(x),dxr) =x^-2e^-x
Como y1=tfrac1x, temos y1^2=tfrac1x^2, então o integrando fica
x^-2e^-x1/x^2=e^-x,
e
integral e^-x,dx=-e^-x

Passo 5

Portanto
y2=y1l(-e^-xr)=-e^-xx
Como constante multiplicativa não altera solução, podemos tomar
y2=e^-xx

Resposta

A solução geral é
y=C11x+C2e^-xx

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