O Capitão Astro está em perigo na órbita de Mercúrio. Ele está na posição P0=(-2,-5,-7) e a temperatura à qual sua espaçonave está submetida é dada por T(x, y, z)=e^(-x^2-2 y^2-3 z^2) graus Celsius. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de temperatura
T(x,y,z) = e^l(-x^2 - 2y^2 - 3z^2r)
e a posição do Capitão Astro em ,P0=(-2,-5,-7). Queremos a direção em que ele perde temperatura mais rapidamente, ou seja, a direção de maior decaimento de T.

Passo 2

Para uma função escalar T, o vetor gradiente
nabla T = l(partial Tpartial x,,partial Tpartial y,,partial Tpartial zr)
aponta a direção de maior crescimento de T. Portanto, a direção de maior decaimento é dada por
-nabla T

Passo 3

Como T(x,y,z)=e^g(x,y,z) com g(x,y,z)=-x^2-2y^2-3z^2, usamos a regra da cadeia:
partial Tpartial x = Tcdot partial gpartial x, partial gpartial x = -2x,
e análogamente para y e z. Logo
nabla T = e^(-x^2-2y^2-3z^2),(-2x,,-4y,,-6z)

Passo 4

Em P0=(-2,-5,-7) temos
g(P0) = -(-2)^2 - 2(-5)^2 - 3(-7)^2 = -4 - 50 - 147 = -201,
T(P0) = e^-201,
nabla T(P0) = e^-201,(4,,20,,42)

Passo 5

A direção de maior perda de temperatura é
-nabla T(P0) = -e^-201,(4,,20,,42),
e o vetor unitário correspondente é
-nabla T(P0)|nabla T(P0)| = (-4,-20,-42)raiz4^2+20^2+42^2 = (-2,-10,-21)raiz545

Resposta

A direção de maior perda de temperatura em P0 é o vetor unitário
(-2,,-10,,-21)raiz545

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