Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, onde
é a poligonal de vértices
e
, de
para
.
Passo 1
Resumo do problema: queremos calcular a integral de linha
ao longo da poligonal
que vai de
a
e depois a
. O enunciado sugere usar o Teorema de Green, mas ele só vale para curvas fechadas. A estratégia é “fechar”
adicionando o segmento
, aplicar Green na curva fechada e depois subtrair a contribuição do trecho de retorno
.
Passo 2
Identificamos
No Teorema de Green temos
Calculando as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 3
O domínio
é o triângulo de vértices
,
e
. Pelo Teorema de Green a integral sobre a curva fechada
vale
Para um triângulo,
, onde
e a área é
Portanto
Passo 4
Agora dividimos
em
(o trecho
) mais o segmento de retorno
. Escrevamos
No segmento de retorno
temos
,
,
varia de
a
. Então
e
Passo 5
Como
e a parte de retorno é zero, a integral sobre a poligonal
é