Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
integralC x y d x+e^y d y, onde C é a poligonal de vértices A(0,0), B(-2,-2) e C(-4,0), de A para C.

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular a integral de linha
integralC x,y,dx + e^y,dy
ao longo da poligonal C que vai de A(0,0) a B(-2,-2) e depois a C(-4,0). O enunciado sugere usar o Teorema de Green, mas ele só vale para curvas fechadas. A estratégia é “fechar” C adicionando o segmento Cto A, aplicar Green na curva fechada e depois subtrair a contribuição do trecho de retorno Cto A.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x,y, Q(x,y)=e^y
No Teorema de Green temos
ointpartial RP,dx + Q,dy =integral duplaRl(partialx Q - partialy Pr),dA
Calculando as derivadas parciais:
partialx Q=partialx(e^y)=0, partialy P=partialy(xy)=x
Logo o integrando é
partialx Q - partialy P = 0 - x = -x

Passo 3

O domínio R é o triângulo de vértices A(0,0), B(-2,-2) e C(-4,0). Pelo Teorema de Green a integral sobre a curva fechada partial R vale
ointpartial RP,dx + Q,dy =integral duplaR(-x),dA =-integral duplaRx,dA
Para um triângulo, integral duplaRx,dA = xbar cdot Área(R)Á, onde
xbar=xA+xB+xC3 =0 + (-2) + (-4)3=-2,
e a área é
Área(R) =basetimesa<ura2 =4times22=4 Á
Portanto
integral duplaRx,dA = (-2)cdot4 = -8 Longrightarrow ointpartial RP,dx + Q,dy = -(-8)=8

Passo 4

Agora dividimos partial R em C (o trecho Ato Bto C) mais o segmento de retorno Cto A. Escrevamos
ointpartial RP,dx + Q,dy =integralCP,dx + Q,dy +integralCto AP,dx + Q,dy
No segmento de retorno C(-4,0)to A(0,0) temos y=0, dy=0, x varia de -4 a 0. Então
x,y,dx + e^y,dy = xcdot0,dx + e^0cdot0 = 0
e
integralCto AP,dx + Q,dy = 0

Passo 5

Como ointpartial RP,dx + Q,dy=8 e a parte de retorno é zero, a integral sobre a poligonal Ato Bto C é
integralC x,y,dx + e^y,dy = 8

Resposta

8

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