Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
onde
é o quadrado de vértices
, (1,1) e (0,1) no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde é o quadrado de vértices
com orientação horária. Vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla.
onde
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green em orientação positiva (contra-horária),
.
Como a orientação é horária, teremos um sinal negativo:
Como a orientação é horária, teremos um sinal negativo:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o rotacional vale
Passo 4
O domínio
é o quadrado definido por
,
. Então
Portanto a integral de linha com orientação horária é