Encontre f^{\prime}(x) de cada funcão
f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \r
f(x)=e^{x}\sin(3x).\r
Para isso vamos usar a regra do produto (pois são duas funções multiplicando) e a regra da cadeia (para derivar \sin(3x)).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{x}, \quad v(x)=\sin(3x).\r
Pela regra do produto,\r
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos cada derivada:\r
  • Como a derivada de e^{x} é \,e^{x}, temos \r u'(x)=e^{x}.\r
  • Para v(x)=\sin(3x) aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t), e a derivada de 3x em relação a x é 3. Logo,\r v'(x)=3\cos(3x).

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do produto:\r
f'(x) = e^{x}\sin(3x) + e^{x}\cdot3\cos(3x).\r
Fatorando e^{x}, obtemos\r
f'(x) = e^{x}\bigl(\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl(\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr).

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