Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, onde
é a fronteira da região de
limitada por
e
, com
. A curva
está orientada no sentido horário
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a fronteira da região
limitada pelas retas
,
e o círculo
em
, orientada no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a um duplo integral sobre .
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a um duplo integral sobre
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
O Teorema de Green para orientação positiva (anti-horária) diz
Como
está orientada no sentido horário, inverte-se o sinal:
Passo 4
Para calcular
, usamos coordenadas polares:
,
, com
variando de
a
(setor de 90°) e
de
a
. Então
Calculando a integral em
:
Portanto
e assim