Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
ointC(y^22+ln (1+x^6)) d x+(2 x y+sen(5+4 y^2)) d y, onde C é a fronteira da região de R^2 limitada por y=x, y=-x e x^2+y^2=4, com y >= 0. A curva C está orientada no sentido horário

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCl(tfracy^22+ln(1+x^6)r),dx+l(2xy+sen(5+4y^2)r),dy
onde C é a fronteira da região D limitada pelas retas y=x, y=-x e o círculo x^2+y^2=4 em y>=0, orientada no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a um duplo integral sobre D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=tfracy^22+ln(1+x^6), Q(x,y)=2xy+sen(5+4y^2)
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =2y, partial Ppartial y =y
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =2y-y=y

Passo 3

O Teorema de Green para orientação positiva (anti-horária) diz
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Como C está orientada no sentido horário, inverte-se o sinal:
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaDy,dA

Passo 4

Para calcular integral duplaDy,dA, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com theta variando de pi/4 a 3pi/4 (setor de 90°) e r de 0 a 2. Então
integral duplaDy,dA =integraltheta=pi/4^3pi/4integralr=0^2(rsintheta),r,dr,dtheta =integralpi/4^3pi/4sintheta(integral0^2r^2dr)dtheta =83integralpi/4^3pi/4sintheta,dtheta
Calculando a integral em theta:
integralpi/4^3pi/4sintheta,dtheta =l[-costhetar]pi/4^3pi/4 =-cos(3pi/4)+cos(pi/4) =raiz22+raiz22 =raiz2
Portanto
integral duplaDy,dA =83,raiz2 =8raiz23,
e assim
ointCP,dx+Q,dy =-8raiz23

Resposta

-8raiz23

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