Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
x^2 y^prime prime+2 x y-1=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^2y'' + 2x,y' - 1 ;=;0
Aqui o conteúdo é o reconhecimento de uma equação de Cauchy–Euler (ou equação de equimultiplicidade) não homogênea de segunda ordem, pois os coeficientes de y'' e y' são x^2 e 2x. Vamos usar a propriedade de que
ddxl(x^2y'r) ;=;x^2y'' + 2x,y',

Passo 2

Reescrevendo a EDO usando essa derivada composta, temos
ddxl(x^2y'r) ;-;1 ;=;0 Longrightarrow ddxl(x^2y'r) ;=;1

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y' ;=;integral 1,dx ;=;x + C1,
onde C1 é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y' e integramos novamente:
y' ;=;x + C1x^2 ;=;1x ;+; C1,x^-2 Longrightarrow y ;=;integrall(tfrac1x + C1x^-2r)dx ;=;lnlvert xrvert ;-;C1,x^-1 ;+;C2
Aqui C2 é mais uma constante de integração.

Passo 5

Renomeando -C1 simplesmente por C1, obtemos a forma usual da solução geral:
boxedy(x) ;=;lnlvert xrvert ;+;C1x;+;C2

Resposta

y(x) = lnlvert xrvert + C1x + C2

Exercícios relacionados