Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y'''' + y'' = 0
e propõe as funções
y1(x)=1, y2(x)=x, y3(x)=sin x, y4(x)=cos x
como suposto conjunto fundamental. Precisamos mostrar que elas geram a solução geral, e então impor as condições iniciais
y(pi)=0,;y'(pi)=0,;y''(pi)=1,;y'''(pi)=0
para determinar os constantes e achar a solução do PVI.

Passo 2

Montamos a equação característica associada a
y'''' + y'' = 0:
substituindo y=e^rx obtemos
r^4 + r^2 = r^2(r^2+1)=0Longrightarrow r=0 (mu<iplicidade 2),;r=pm i
Pela teoria, as soluções básicas são
;1,;x (da raiz dupla r=0) e sin x,;cos x (das raízes r=pm i). Logo a solução geral é
y(x)=C1+C2,x+C3,sin x+C4,cos x,
mostrando que y1,y2,y3,y4 é de fato um conjunto fundamental.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x)&=C2+C3cos x - C4sin x, y''(x)&=-,C3sin x - C4cos x, y'''(x)&=-,C3cos x + C4sin x

Passo 4

Impondo as condições iniciais em x=pi, sabendo que sinpi=0 e cospi=-1, obtemos o sistema
y(pi)=C1+pi C2-C4=0, y'(pi)=C2-C3=0, y''(pi)=C4=1, y'''(pi)=C3=0

Passo 5

Resolvendo em cascata:
C3=0, C2=C3=0, C4=1, C1-1=0;Longrightarrow;C1=1

Resposta

A solução do PVI é
boxedy(x)=1+cos x

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