Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
ointC raiz1+x^2+y^2 d x+(x y^2+y ln (x+raiz1+x^2+y^2)) d y, onde C: x^2+y^2=1 no sentido anti-horário.

Passo 1

A gente tem a integral de linha
ointC P,dx + Q,dy
com
P(x,y) = raiz1+x^2+y^2, Q(x,y) = x y^2 + y lnl(x+raiz1+x^2+y^2r),
onde C é a circunferência unitária no sentido anti-horário.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco Dcolon x^2+y^2<=1.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calcular partial Q/partial x.
Escrevendo R=raiz1+x^2+y^2 temos
Q = x y^2 + yln(x+R)
Então
partialpartial x(x y^2)=y^2
partialpartial xl[yln(x+R)r] = y,1x+Rl(1+partial Rpartial xr) = y,1x+Rl(1+xRr) = yR
Logo
partial Qpartial x = y^2 + yR

Passo 4

Calcular partial P/partial y.
Como P=R,
partial Ppartial y = partial Rpartial y = yR

Passo 5

O integrando do Teorema de Green fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y = l(y^2 + yRr) - yR = y^2
Então
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD y^2,dA

Passo 6

Passando para coordenadas polares:
y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi
A integral fica
integral duplaD y^2,dA = integral0^2pi!!integral0^1 (rsintheta)^2,r,dr,dtheta = integral0^2pisin^2theta,dtheta integral0^1 r^3,dr
Sabendo que
integral0^1 r^3,dr = tfrac14, integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi,
segue
integral duplaD y^2,dA = pi4

Resposta

pi4

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