Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, onde
no sentido anti-horário.
Passo 1
A gente tem a integral de linha
com
onde
é a circunferência unitária no sentido anti-horário.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco .
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco
Passo 2
Pelo Teorema de Green vale
Passo 3
Calcular
.
Escrevendo temos
Escrevendo
Então
–
–
Logo
–
–
Logo
Passo 4
Calcular
.
Como ,
Como
Passo 5
O integrando do Teorema de Green fica
Então
Passo 6
Passando para coordenadas polares:
A integral fica
Sabendo que
segue