Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (1,1) y-x1-y+ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(1,1)y-x1-y+ln(x)
Trata-se de um limite de função de duas variáveis. Como a substituição direta gera indeterminação 0/0, vamos usar o teste de caminhos para verificar se o limite existe.

Passo 2

Substituindo (x,y)=(1,1) diretamente, obtemos
1-11-1+ln(1)=00,
forma indeterminada. É necessário analisar limites ao longo de diferentes curvas que se aproximem de (1,1).

Passo 3

Considere o caminho y=1. Então
y-x1-y+ln(x) =1-x1-1+ln(x) =1-xln(x)
Como ln(x)sim x-1 quando xto1, segue
1-xln(x);longrightarrow;-1

Passo 4

Considere o caminho y=x. Então
y-x1-y+ln(x) =x-x1-x+ln(x) =0
para todo x, de modo que ao aproximar xto1 o quociente fica 0.

Passo 5

Obtivemos dois resultados diferentes ( -1 e 0) em caminhos distintos. Logo, o limite depende do caminho e não existe.

Resposta

O limite não existe.

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