Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
integralC[x ln (1+y^2)-x^2(y+1)] d x+[x^2 y1+y^2+y^2(x+1)] d y, onde C é parte da circunferência: x^2+y^2=1 no I quadrante do ponto (1,0) até (0,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral curvilínea
integralCP,dx+Q,dy
onde
P(x,y)=xlnl(1+y^2r)-x^2(y+1), Q(x,y)=x^2y1+y^2+y^2(x+1),
e C é o arco da circunferência x^2+y^2=1 no 1º quadrante, de (1,0) a (0,1).
Vamos usar o Teorema de Green fechando C com os segmentos sobre os eixos x e y.

Passo 2

Calculamos
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2y1+y^2+xy^2+y^2r) =2xy1+y^2+y^2,
partial Ppartial y =partialpartial yl(xln(1+y^2)-x^2y-x^2r) =2xy1+y^2-x^2
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =x^2+y^2

Passo 3

Para o contorno fechado C+eixos o Teorema de Green dá
oint P,dx+Q,dy =integral duplaD(x^2+y^2),dA,
onde D é o setor de raio 1 no 1º quadrante. Em coordenadas polares
integral duplaD(x^2+y^2),dA =integral0^pi/2!!integral0^1r^2,(r,dr,dtheta) =integral0^pi/214,dtheta =pi8

Passo 4

No eixo x, de (0,0) a (1,0):
parametrização x=t, y=0, tin[0,1]. Então
dx=dt, dy=0, P(x,0)=-x^2,
integralL1P,dx =integral0^1(-t^2),dt =-13

Passo 5

No eixo y, de (0,1) a (0,0):
parametrização x=0, y=t, tin[1,0]. Então
dx=0, dy=dt, Q(0,y)=y^2,
integralL2Q,dy =integral1^0t^2,dt =-13

Passo 6

Pelo Teorema de Green no contorno fechado,
underbraceintegralC?!+ underbraceintegralL1-1/3+underbraceintegralL2-1/3 =pi8,
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integralCP,dx+Q,dy =pi8-l(-tfrac13-tfrac13r) =pi8+23 =3pi+1624

Resposta

3pi+1624

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