Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, onde
consiste no arco da curva
de
a
e no segmento de reta
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o arco da curva
de
a
seguido do segmento de reta de
a
.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada orientada positivamente (sentido anti-horário) a uma integral dupla sobre a região interna a
.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada orientada positivamente (sentido anti-horário) a uma integral dupla sobre a região
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green em orientação positiva (anti-horária),
Porém, o contorno
dado vai no sentido horário (a região
fica à direita de quem percorre
), logo precisamos trocar o sinal:
Calculamos as derivadas:
então
e a integral de linha torna-se
Passo 3
A região
é aquela abaixo de
e acima de
, para
. Em coordenadas cartesianas:
Logo
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Portanto
Passo 5
Calculamos separadamente:
e por partes
Logo