Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
ointC(raizx+y^3) d x+(x^2+raizy) d y, onde C consiste no arco da curva y=sen x de (0,0) a (pi, 0) e no segmento de reta (pi, 0) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCl(raizx+y^3r),dx + l(x^2+raizyr),dy
onde C é o arco da curva y=sen x de (0,0) a (pi,0) seguido do segmento de reta de (pi,0) a (0,0).
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada orientada positivamente (sentido anti-horário) a uma integral dupla sobre a região R interna a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=raizx+y^3, Q(x,y)=x^2+raizy
Pelo Teorema de Green em orientação positiva (anti-horária),
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Porém, o contorno C dado vai no sentido horário (a região R fica à direita de quem percorre C), logo precisamos trocar o sinal:
ointCP,dx+Q,dy =-,integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas:
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=3y^2,
então
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2x-3y^2,
e a integral de linha torna-se
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaRl(3y^2-2xr),dA

Passo 3

A região R é aquela abaixo de y=sen x e acima de y=0, para 0<= x<= pi. Em coordenadas cartesianas:
R=l(x,y)mid 0<= x<=pi,;0<= y<=sen xr
Logo
ointCP,dx+Q,dy =integralx=0^piintegraly=0^sen xl(3y^2-2xr),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^sen xl(3y^2-2xr),dy =l[y^3r]0^sen x -2xl[yr]0^sen x =sen^3x-2xsen x
Portanto
ointCP,dx+Q,dy =integral0^pil(sen^3x-2xsen xr),dx =integral0^pisen^3x,dx -2integral0^pixsen x,dx

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^pisen^3x,dx = integral0^pisen x,(1-cos^2x),dx =2-tfrac23 =tfrac43,
e por partes
integral0^pixsen x,dx =l[-xcos xr]0^pi+integral0^picos x,dx =pi
Logo
ointCP,dx+Q,dy =43-2pi

Resposta

boxed43-2pi

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