Sabendo que 12-x^224 <= 1-cos (x)x^2 <= 12 para todo x próximo de 0 , calcule lim x 0 1-cos (x)x^2 usando o Teorema do Confronto.
4. Considere f uma função dada por
f(x)=rll2 & se & x<1 -1 & se & x=1 -3 & se & x>1
Calcule lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) usar o Teorema do Confronto para calcular
limxto01-cos(x)x^2
sabendo que
12 - x^224 ;<=;1-cos(x)x^2;<=;12
e (ii) calcular os limites laterais de
f(x)= 2&se x<1, -1&se x=1, -3&se x>1
quando xto1^- e xto1^+.

Passo 2

Pelo Teorema do Confronto, se
g(x)<= h(x)<= k(x)
e limxto ag(x)=limxto ak(x)=L, então limxto ah(x)=L. Aqui
g(x)=12 - x^224, h(x)=1-cos(x)x^2, k(x)=12
Calculamos primeiro
limxto0g(x) =limxto0l(tfrac12-tfracx^224r) =tfrac12
e também
limxto0k(x) =limxto012 =tfrac12

Passo 3

Como limxto0g(x)=limxto0k(x)=tfrac12, pelo Teorema do Confronto temos
limxto01-cos(x)x^2=tfrac12

Passo 4

Para limxto1^-f(x), aproximamos x de 1 pela esquerda, onde x<1. Nesse ramo f(x)=2 é constante, logo
limxto1^-f(x)=2

Passo 5

Para limxto1^+f(x), aproximamos x de 1 pela direita, onde x>1. Nesse ramo f(x)=-3 é constante, logo
limxto1^+f(x)=-3

Resposta

limxto01-cos(x)x^2=tfrac12
limxto1^-f(x)=2
limxto1^+f(x)=-3

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