Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e depois classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar os conceitos de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e o Hessiano para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e resolvemos
Como
e
temos o sistema
Isso dá as soluções
-
e , ou -
e , isto é e .
Passo 3
Para classificar usamos o Hessiano
Calculando as segundas derivadas, obtém-se
Passo 4
Agora avaliamos
em cada ponto crítico:
-
Em
:
, O determinante do Hessiano é, logo é ponto de sela. -
Em
e em :
note quee . o determinante ée as segundas derivadas diagonais são negativas, portanto máximos locais. -
Em
e em :
aquie . o determinante ée as segundas derivadas diagonais são positivas, portanto mínimos locais.
Resposta
Os pontos críticos e sua classificação são:
é ponto de sela.
e
são máximos locais (valor
).
e
são mínimos locais (valor
).