Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x y e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=x,y,e^-x^2-y^2
e depois classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar os conceitos de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e o Hessiano para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e resolvemos
fx=0, fy=0
Como
fx=partialpartial xl(xy,e^-x^2-y^2r) =e^-x^2-y^2l(y-2x^2yr) =e^-x^2-y^2,y,(1-2x^2),
e
fy=e^-x^2-y^2,x,(1-2y^2),
temos o sistema
y,(1-2x^2)=0, x,(1-2y^2)=0
Isso dá as soluções
  1. x=0 e y=0, ou
  2. 1-2x^2=0 e 1-2y^2=0, isto é x=pmdfrac1raiz2 e y=pmdfrac1raiz2.

Passo 3

Para classificar usamos o Hessiano
H= fxx & fxy[6pt] fyx & fyy
Calculando as segundas derivadas, obtém-se
fxx=-2x,y,e^-x^2-y^2,(3-2x^2), fyy=-2x,y,e^-x^2-y^2,(3-2y^2),
fxy =e^-x^2-y^2,(1-2x^2)(1-2y^2) ]

Passo 4

Agora avaliamos H em cada ponto crítico:
  1. Em (0,0):
    e^-0=1,
    fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=1
    O determinante do Hessiano é 0cdot0-1^2=-1<0, logo (0,0) é ponto de sela.
  2. Em l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e em l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r):
    note que x,y=+tfrac12 e e^-x^2-y^2=e^-1.
    fxx=fyy=-2e^-1, fxy=0,
    o determinante é 4e^-2>0 e as segundas derivadas diagonais são negativas, portanto máximos locais.
  3. Em l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e em l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r):
    aqui x,y=-tfrac12 e e^-x^2-y^2=e^-1.
    fxx=fyy=+2e^-1, fxy=0,
    o determinante é 4e^-2>0 e as segundas derivadas diagonais são positivas, portanto mínimos locais.

Resposta

Os pontos críticos e sua classificação são:
(0,0) é ponto de sela.
l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) são máximos locais (valor +tfrac12e).
l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) são mínimos locais (valor -tfrac12e).

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