Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
EXTRÁ (1,0 ponto). Resolva a Equação Diferencial Ordinária x y^prime prime+y^prime=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
x,y'' + y' = 1
Note que é uma EDO linear de segunda ordem, mas podemos reduzi-la a uma EDO de primeira ordem definindo p(x)=y'(x).

Passo 2

Substituindo y'=p e y''=p' na equação, obtemos
x,p' + p = 1,
que é uma equação linear de primeira ordem em p.

Passo 3

Escrevendo em forma padrão,
p' + 1x,p = 1x,
o fator integrante é
mu(x) = expl(integral tfrac1x,dxr) = x
Multiplicando tudo por x vem
(xp)' = 1

Passo 4

Integrando em relação a x,
xp = integral 1,dx = x + C1,
logo
p = y' = 1 + C1x

Passo 5

Integramos agora
y' = 1 + C1x
para obter
y = integrall(1 + C1xr),dx = x + C1lnlvert xrvert + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x) = x + C1lnlvert xrvert + C2

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