Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
ointC(xraiz1+x^2+4 y^3-y^33) d x+(6 y^2raiz1+x^2+4 y^3+x^33) d y, onde C: x^2+y^2=1 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCl(P,dx + Q,dyr)
sobre Ccolon x^2+y^2=1 no sentido anti-horário, onde
P(x,y)=xraiz1+x^2+4y^3-y^33, Q(x,y)=6y^2raiz1+x^2+4y^3+x^33
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que nos diz que
ointCP,dx + Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA,
onde D é o disco unitário.

Passo 2

Calculamos partial Q/partial x.
partial Qpartial x =partialpartial xl(6y^2(1+x^2+4y^3)^-1/2+tfracx^33r) =-6xy^2(1+x^2+4y^3)^-3/2+x^2

Passo 3

Calculamos partial P/partial y.
partial Ppartial y =partialpartial yl(x(1+x^2+4y^3)^-1/2-tfracy^33r) =-6xy^2(1+x^2+4y^3)^-3/2-y^2

Passo 4

Formamos o integrando de Green:
partial Qpartial x-partial Ppartial y =l(x^2-6xy^2(1+x^2+4y^3)^-3/2r) -l(-6xy^2(1+x^2+4y^3)^-3/2-y^2r) =x^2+y^2
Logo
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaD(x^2+y^2),dA
Em coordenadas polares x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta.

Passo 5

integral duplaDr^2,dA =integral0^2pi!integral0^1r^2(r,dr,dtheta) =integral0^2pidthetaintegral0^1r^3dr =2picdot14 =pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados