Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
y^prime prime+y^prime+14 y=-8 e^x cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
y'' + y' + tfrac14,y = -8,e^xcos(2x)
Isso envolve dois conteúdos principais:
  1. Resolver a equação homogênea associada (coeficientes constantes).
  2. Encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y' + tfrac14,y = 0
A equação característica é
r^2 + r + tfrac14 = 0 ;Longrightarrow; De<a = 1 - 1 = 0,; r = -tfrac12 (raiz dupla)
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^-x/2 + C2,x,e^-x/2

Passo 3

Para a parte não homogênea, postula-se
yp = e^xl(Mcos2x + Nsin2xr)
Calculando derivadas:
yp' = e^xl((M+2N)cos2x + (N-2M)sin2xr),
yp'' = e^xl((-3M+4N)cos2x + (-4M-3N)sin2xr)
Substituindo em y''+y'+tfrac14y e agrupando cos2x e sin2x, obtém-se
yp''+yp'+tfrac14yp = e^xl[(-tfrac74 M+6N)cos2x +(-6M-tfrac74N)sin2xr]

Passo 4

Igualando ao forçante -8e^xcos2x dá o sistema
-tfrac74 M + 6N = -8, -6M - tfrac74 N = 0
Da segunda equação segue
6M + tfrac74 N =0 ;Longrightarrow; N = -tfrac247,M
Substituindo na primeira:
-tfrac74 M + 6l(-tfrac247Mr) = -8 ;Longrightarrow; -tfrac74M - tfrac1447M = -8
Multiplicando ambos os lados por 28:
-49M -576M = -224 ;Longrightarrow; -625M = -224 ;Longrightarrow; M = tfrac224625,
e então
N = -tfrac247 cdot tfrac224625 = -tfrac768625

Passo 5

A solução particular fica
yp = e^xl(tfrac224625cos2x - tfrac768625sin2xr)
Portanto, a solução geral é
y(x) = C1 e^-x/2 + C2,x,e^-x/2 + e^xl(tfrac224625cos2x - tfrac768625sin2xr)

Resposta

boxedy(x) = C1 e^-x/2 + C2,x,e^-x/2 + e^xl(tfrac224625cos2x - tfrac768625sin2xr)

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