Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:

Passo 1

O enunciado dá a EDO de Euler–Cauchy
x^3y''' +6x^2y'' +4x,y' -4y = 0, x>0
e fornece três funções
y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^-2
Diz para verificar que elas formam um conjunto fundamental de soluções, escrever a solução geral
y(x)=C1x + C2x^2 + C3x^-2
e, por fim, achar C1,C2,C3 de modo a satisfazer o PVI
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1

Passo 2

Verificamos a independência linear calculando o Wronskiano
W(x)= det x & x^2 & x^-2 1 & 2x & -2x^-3 0 & 2 & 6x^-4
Expandindo pela primeira linha:
W(x) = xl(2xcdot6x^-4-(-2x^-3)cdot2r) - x^2l(1cdot6x^-4-(-2x^-3)cdot0r) + x^-2l(1cdot2-2xcdot0r)
Isso dá
W(x) = xl(12x^-3+4x^-3r) - x^2l(6x^-4r) + x^-2cdot2 =16x^-2-6x^-2+2x^-2=12x^-2neq0 (x>0)
Logo são linearmente independentes e, como a EDO é de 3.º ordem, são um conjunto fundamental.

Passo 3

A solução geral da EDO é a combinação linear
y(x)=C1x + C2x^2 + C3x^-2
Calculamos derivadas:
y'(x)=C1 +2C2x -2C3x^-3, y''(x)=2C2 +6C3x^-4
Impondo as condições em x=1:
y(1)=C1+C2+C3=0,
y'(1)=C1+2C2-2C3=0,
y''(1)=2C2+6C3=1
Resolvendo o sistema:
da terceira equação vem C2=(1-6C3)/2.
Substituindo nas duas primeiras e eliminando C1, obtemos C3=1/12,
logo C2=1/4 e C1=-1/3.

Resposta

boxedy(x)=-tfrac13,x ;+;tfrac14,x^2;+;tfrac112,x^-2

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