Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.
ointC[e^x d x+(e^y+1) d y], onde C é o triângulo de vértices A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0), no sentido anti-horário.

Passo 1

A integral a calcular é ointC[e^x,dx + (e^y+1),dy], onde C é o triângulo de vértices A(-1,2), B(-3,1), C(1,0) orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar isso numa integral dupla.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, temos:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Aqui definimos P(x,y)=e^x e Q(x,y)=e^y+1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=0,partial Ppartial y=0
Isso porque Q não depende de x e P não depende de y.

Passo 4

Como partial Qpartial x-partial Ppartial y=0 em todo o domínio, a integral dupla é
integral duplaD 0,dA = 0
Logo, pelo Teorema de Green a integral de linha também vale 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados