Exercício 3 [25 pontos]: Calcule a integral tripla abaixo usando coordenadas cilíndricas:
onde o sólido
é dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla para calcular dentro de um sólido $ W $. Esse sólido é definido por $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 $ (que é uma esfera de raio 1), $ z \geq 0 $ (a parte de cima da esfera) e $ x^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} $ (a parte externa de um cilindro de raio $ \frac{1}{2} $). Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar esse cálculo. Vamos precisar transformar a integral e definir bem os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nelas, temos:
E o elemento de volume $ dV $ em coordenadas cilíndricas é:
Então, nossa integral tripla $ \iiint_{W} z , dx, dy, dz $ vai se transformar em:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $.
- Para $ \theta $: como estamos cobrindo toda a volta, $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $.
- Para $ r $: como $ x^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} $, ou seja, $ r \geq \frac{1}{2} $. E como estamos dentro da esfera de raio 1, $ r $ vai até $ 1 $.
- Para $ z $: dentro da esfera, $ z $ vai de $ 0 $ (já que $ z \geq 0 $) até $ \sqrt{1 - r^2} $ (resolvendo $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ para $ z $).
Então, nossos limites são:
Passo 4
Vamos escrever a integral com esses limites:
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $.
Passo 5
Integrando $ z \cdot r $ em relação a $ z $:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral e integramos em relação a $ r $:
Vamos resolver a integral em $ r $:
Calculando:
Para $ r = 1 $:
Para $ r = \frac{1}{2} $:
Então, a integral em $ r $ fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{9\pi}{64} $.