Exercício 3 [25 pontos]: Calcule a integral tripla abaixo usando coordenadas cilíndricas:
integral triplaW z d x d y d z
onde o sólido W é dado por
W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1, z >= 0, x^2+y^2 >= 14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla para calcular dentro de um sólido $ W $. Esse sólido é definido por $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 $ (que é uma esfera de raio 1), $ z \geq 0 $ (a parte de cima da esfera) e $ x^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} $ (a parte externa de um cilindro de raio $ \frac{1}{2} $). Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar esse cálculo. Vamos precisar transformar a integral e definir bem os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nelas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume $ dV $ em coordenadas cilíndricas é:
dV
Então, nossa integral tripla $ \iiint_{W} z , dx, dy, dz $ vai se transformar em:
dV = r, dr, dtheta, dz

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $.
  • Para $ \theta $: como estamos cobrindo toda a volta, $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $.
  • Para $ r $: como $ x^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} $, ou seja, $ r \geq \frac{1}{2} $. E como estamos dentro da esfera de raio 1, $ r $ vai até $ 1 $.
  • Para $ z $: dentro da esfera, $ z $ vai de $ 0 $ (já que $ z \geq 0 $) até $ \sqrt{1 - r^2} $ (resolvendo $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ para $ z $).
Então, nossos limites são:
r

Passo 4

Vamos escrever a integral com esses limites:
integral0^2pi integral12^1 integral0^raiz1 - r^2 z cdot r , dz, dr, dtheta
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $.

Passo 5

Integrando $ z \cdot r $ em relação a $ z $:
z cdot r

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral e integramos em relação a $ r $:
r
Vamos resolver a integral em $ r $:
integral0^2pi integral12^1 r (1 - r^2)2 , dr, dtheta
Calculando:
Para $ r = 1 $:
r
Para $ r = \frac{1}{2} $:
integral12^1 r (1 - r^2)2 , dr = 12 integral12^1 (r - r^3) , dr = 12 [ r^22 - r^44 ]12^1
Então, a integral em $ r $ fica:
r = 1

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{9\pi}{64} $.

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