Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
integral1^e x^3 ln x d x

Passo 1

Resumo do exercício: calcular a integral de 1 a e de x³·ln x dx. O conteúdo é integração por partes e vamos usar essa técnica para obter a antiderivada e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Na integração por partes usamos a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhemos
u = ln x e dv = x^3,dx.
Então
du = 1x,dx
e
v = integral x^3,dx = x^44.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos a antiderivada:
integral x^3 ln x,dx = x^44ln x - integral x^44 cdot 1x,dx = x^44ln x - 14 integral x^3,dx
Como
integral x^3,dx = x^44,
segue que
integral x^3 ln x,dx = x^44ln x - 14 cdot x^44 = x^44ln x - x^416

Passo 4

Avaliação no intervalo de 1 a e:
Para x=e:
e^44ln e - e^416 = e^44 - e^416 = 3e^416
Para x=1:
1^44ln 1 - 1^416 = 0 - 116 = -116

Passo 5

Valor da integral definida:
integral1^e x^3 ln x,dx = 3e^416 - l(-tfrac116r) = 3e^4 + 116

Resposta

3e^4 + 116

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