Considere a função
. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é composta por duas partes: o
e a derivada parcial de
em relação a
, avaliada em
. Ou seja,
Aqui,
é uma função de duas variáveis,
e
, onde
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos derivar o produto de
e
. Vamos aplicar a regra do produto:
A primeira derivada é simples, e a segunda envolve a derivada de uma derivada parcial.
Passo 4
Calculando a primeira parte:
Então, a primeira parte da expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Calculando as derivadas:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
No entanto, observando que podemos reorganizar os termos para enfatizar as derivadas cruzadas.
Passo 7
Finalmente, juntando tudo: