Considere a função z=x partial fpartial x(2 x, x^3). Verifique que
d zd x=partial fpartial x(2 x, x^3)+x[2 partial^2 fpartial x partial y(2 x, x^3)+3 x^2 partial^2 fpartial y^2(2 x, x^3)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de em relação a . Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função z = x cdot partial fpartial x(2x, x^3) . Ela é composta por duas partes: o e a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Ou seja,
Aqui, é uma função de duas variáveis, e , onde .

Passo 3

Para encontrar dzdx = ddx(x) cdot partial fpartial x(2x, x^3) + x cdot ddx( partial fpartial x(2x, x^3) ) , precisamos derivar o produto de e . Vamos aplicar a regra do produto:
A primeira derivada é simples, e a segunda envolve a derivada de uma derivada parcial.

Passo 4

Calculando a primeira parte:
ddx(x) = 1
Então, a primeira parte da expressão fica:
1 cdot partial fpartial x(2x, x^3) = partial fpartial x(2x, x^3)

Passo 5

Agora, vamos derivar ddx( partial fpartial x(2x, x^3) ) = partial^2 fpartial x^2(2x, x^3) cdot ddx(2x) + partial^2 fpartial x partial y(2x, x^3) cdot ddx(x^3) em relação a ddx(2x) = 2 e ddx(x^3) = 3x^2 . Aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Calculando as derivadas:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
ddx( partial fpartial x(2x, x^3) ) = 2 cdot partial^2 fpartial x^2(2x, x^3) + 3x^2 cdot partial^2 fpartial x partial y(2x, x^3)
No entanto, observando que podemos reorganizar os termos para enfatizar as derivadas cruzadas.

Passo 7

Finalmente, juntando tudo:
dzdx = partial fpartial x(2x, x^3) + x [ 2 partial^2 fpartial x partial y(2x, x^3) + 3x^2 partial^2 fpartial y^2(2x, x^3) ]

Resposta

dzdx = partial fpartial x(2x, x^3) + x[2 partial^2 fpartial x partial y(2x, x^3) + 3x^2 partial^2 fpartial y^2(2x, x^3)]

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