O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-3^3|x^2-4x^2-25|,dx
O conteúdo principal é tratar valor absoluto de função racional, o que nos leva a: 1. Determinar onde o quociente x^2-4x^2-25 muda de sinal no intervalo [-3,3]. 2. Dividir a integral em subintervalos onde a expressão dentro do módulo tem sinal conhecido. 3. Encontrar a antiderivada da função racional e avaliar em cada parte.
Passo 2
Analisamos o sinal de
f(x)=x^2-4x^2-25
para xin[-3,3]. Note que:
O denominador x^2-25 é sempre negativo em [-3,3], pois x^2<=9<25.
O numerador x^2-4 muda de sinal em x=pm2: é negativo se |x|<2 e positivo se 2<|x|<=3.
Logo:
Para |x|<2, numerador <0 e denominador <0 Rightarrow f(x)>0.
Para 2<|x|<=3, numerador >0 e denominador <0 Rightarrow f(x)<0.