Calcular as integrais definidas
integral-3^3|x^2-4x^2-25| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-3^3|x^2-4x^2-25|,dx
O conteúdo principal é tratar valor absoluto de função racional, o que nos leva a:
1. Determinar onde o quociente x^2-4x^2-25 muda de sinal no intervalo [-3,3].
2. Dividir a integral em subintervalos onde a expressão dentro do módulo tem sinal conhecido.
3. Encontrar a antiderivada da função racional e avaliar em cada parte.

Passo 2

Analisamos o sinal de
f(x)=x^2-4x^2-25
para xin[-3,3]. Note que:
  • O denominador x^2-25 é sempre negativo em [-3,3], pois x^2<=9<25.
  • O numerador x^2-4 muda de sinal em x=pm2: é negativo se |x|<2 e positivo se 2<|x|<=3.
    Logo:
  • Para |x|<2, numerador <0 e denominador <0 Rightarrow f(x)>0.
  • Para 2<|x|<=3, numerador >0 e denominador <0 Rightarrow f(x)<0.

Passo 3

Com isso,
|x^2-4x^2-25|= x^2-4x^2-25,&|x|<2,[1em] -x^2-4x^2-25,&2<|x|<=3
Como a função é par, fazemos
integral-3^3|x^2-4x^2-25|dx =2integral0^3|x^2-4x^2-25|dx =2l(integral0^2x^2-4x^2-25dx-integral2^3x^2-4x^2-25dxr) ]

Passo 4

Simplificamos o integrando por divisão de polinômios:
x^2-4x^2-25 =1+21x^2-25
Uma antiderivada é
F(x) =x+21integraldxx^2-25 =x+2110lngl|x-5x+5gr|

Passo 5

Agora avaliamos
integral0^2x^2-4x^2-25dx =F(2)-F(0), integral2^3x^2-4x^2-25dx =F(3)-F(2)
Calculamos:
F(0)=0+2110lngl|-55gr|=0,
F(2)=2+2110ln37, F(3)=3+2110ln14
Logo
integral0^2x^2-4x^2-25dx =2+2110ln37, integral2^3x^2-4x^2-25dx =3-2+2110l(ln14-ln37r)

Passo 6

Substituindo em
I =2l[l(F(2)-F(0)r)-l(F(3)-F(2)r)r]
e simplificando, obtemos
I =2+215ln3649

Resposta

boxed2+215ln3649

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