Calcular as integrais definidas
integral-1^5|x^3-4 x| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral-1^5l|x^3 - 4xr|,dx
O conteúdo é integração de função com valor absoluto. Para resolver, precisamos achar onde x^3 -4x muda de sinal, ou seja, resolver
x^3 -4x = x(x^2-4)=0

Passo 2

As raízes de x^3 -4x são x=-2,0,2. No intervalo de integração [-1,5] só interessam as quebras em x=0 e x=2. Verificando o sinal:
  • em [-1,0]: x^3-4x>0,
  • em [0,2]: x^3-4x<0,
  • em [2,5]: x^3-4x>0.
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integral-1^5l|x^3 - 4xr|,dx = integral-1^0(x^3 - 4x),dx + integral0^2-(x^3 - 4x),dx + integral2^5(x^3 - 4x),dx

Passo 3

Primeiro encontramos o antiderivado
F(x)=integral (x^3 -4x),dx = x^44 - 2x^2
Agora avaliamos cada parcela:
integral-1^0(x^3 - 4x),dx = F(0)-F(-1) = 0 - l(tfrac(-1)^44-2cdot(-1)^2r) = 74
integral0^2-(x^3 - 4x),dx = -l(F(2)-F(0)r) = -l(-4 - 0r) = 4
integral2^5(x^3 - 4x),dx = F(5)-F(2) = l(tfrac6254-50r) - (-4) = 4414

Passo 4

Somando as três contribuições:
74 + 4 + 4414 = 4484 + 4 = 112 + 4 = 116

Resposta

116

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