Calcule os limites abaixo e verifique se as funções são contínuas nos seus respectivos pontos.
lim (x, y) (-1,2) ln (1+x^2 y^3).

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(-1,2)lnl(1+x^2y^3r)
e em seguida verificar se a função
f(x,y)=lnl(1+x^2y^3r)
é contínua em (-1,2).
Vamos usar a propriedade de continuidade de soma, produto e composição de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro calculamos o limite da parte interna, que é um polinômio mais constante:
g(x,y)=1+x^2y^3
Como soma e produto de funções polinomiais são contínuos, vale
lim(x,y)to(-1,2)g(x,y) =1+(-1)^2cdot2^3 =1+1cdot8 =9

Passo 3

Agora aplicamos a função ln, que é contínua em todo ponto onde seu argumento é positivo. Como g(x,y) aproxima-se de 9>0, podemos trocar limite e logaritmo:
lim(x,y)to(-1,2)lnl(g(x,y)r) =lnl(lim(x,y)to(-1,2)g(x,y)r) =ln(9)

Passo 4

Para verificar a continuidade de f em (-1,2), observamos que g(-1,2)=9>0, logo há uma vizinhança de (-1,2) na qual g(x,y)>0 e ln é bem definida e contínua. Sendo g contínua e a composição de funções contínuas contínua, f é contínua em (-1,2).

Resposta

lim(x,y)to(-1,2)lnl(1+x^2y^3r)=ln(9) e a função é contínua em (-1,2).

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