Questão 1. Considere a função:
Determine os seguintes elementos da função:
- Seu domínio.
- Limites da função quando
tende aos extremos dos intervalos que constituem seu domínio.
- Pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados.
- Pontos críticos da função.
- Intervalos em que a função é crescente e intervalos em que é decrescente.
- Pontos de máximo local e pontos de mínimo local.
- Pontos inflexão (pontos em que a derivada segunda muda de sinal).
- Intervalos em que o gráfico da função é côncavo para baixo e intervalos em que é convexo para cima.
Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.
Determine os seguintes elementos da função:
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
isto é: domínio, limites nos extremos, interceptos, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais, pontos de inflexão e concavidade. Vamos usar análise de derivadas e fatoração de polinômios para cada item.
Passo 2
Como é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos reais. Nos extremos:
Passo 3
Para achar os interceptos com os eixos:
– Eixo : resolvemos
,
– Eixo
A equação quadrática tem discriminante negativo, logo a única raiz real é
(multiplicidade 2). Portanto o único ponto de interceptação é
.
– Eixo : em
, temos
, o mesmo ponto
.
– Eixo
Passo 4
Derivando para achar pontos críticos:
O fator quadrático não zera (discriminante negativo), então a única raiz real de
é
.
Passo 5
Analisando o sinal de
:
– Para , o fator
é negativo e o outro fator é positivo ⇒
(decrescente).
– Para ,
e o outro fator continua positivo ⇒
(crescente).
Logo decresce em
e cresce em
, e em
temos um mínimo local (e global) no ponto
. Não há máximo local.
– Para
– Para
Logo
Passo 6
A segunda derivada é
Como
para todo
e não muda de sinal em
, não há ponto de inflexão (não há troca de concavidade). A função é côncava para baixo em nenhum intervalo e convexa (côncava para cima) em todo o
.
Passo 7
Com esses dados, o gráfico é um “U” suave (polinômio de grau 4 sempre vai a
nas duas pontas), decrescendo até
e subindo depois, sem mudar de concavidade. Há um leve achatamento em
, mas sem inflexão.
Resposta
- Domínio:
. -
- Interceptos: único ponto
com ambos os eixos. - Pontos críticos:
, valor . - Crescente em
; decrescente em . - Mínimo local (e global) em
; não há máximo local. - Não há ponto de inflexão (
nunca troca de sinal). - Concavidade para baixo: nenhum; concavidade para cima: todo
.