Questão 1. Considere a função: y=x^412-23 x^3+2 x^2
Determine os seguintes elementos da função:
  • Seu domínio.
  • Limites da função quando x tende aos extremos dos intervalos que constituem seu domínio.
  • Pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados.
  • Pontos críticos da função.
  • Intervalos em que a função é crescente e intervalos em que é decrescente.
  • Pontos de máximo local e pontos de mínimo local.
  • Pontos inflexão (pontos em que a derivada segunda muda de sinal).
  • Intervalos em que o gráfico da função é côncavo para baixo e intervalos em que é convexo para cima.
Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
y = x^412 - 23x^3 + 2x^2,
isto é: domínio, limites nos extremos, interceptos, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais, pontos de inflexão e concavidade. Vamos usar análise de derivadas e fatoração de polinômios para cada item.

Passo 2

Como é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos reais. Nos extremos:
limxto+inftyy = +infty, limxto-inftyy = +infty

Passo 3

Para achar os interceptos com os eixos:
– Eixo x: resolvemos y=0,
x^412 - 23x^3 + 2x^2 = x^2l(x^212 - 23x + 2r)=0
A equação quadrática tem discriminante negativo, logo a única raiz real é x=0 (multiplicidade 2). Portanto o único ponto de interceptação é (0,0).
– Eixo y: em x=0, temos y(0)=0, o mesmo ponto (0,0).

Passo 4

Derivando para achar pontos críticos:
y' = ddxl(x^412 - 23x^3 + 2x^2r) = x^33 - 2x^2 + 4x = xl(x^23 - 2x + 4r)
O fator quadrático não zera (discriminante negativo), então a única raiz real de y' é x=0.

Passo 5

Analisando o sinal de y':
– Para x<0, o fator x é negativo e o outro fator é positivo ⇒ y'<0 (decrescente).
– Para x>0, x>0 e o outro fator continua positivo ⇒ y'>0 (crescente).
Logo ,y decresce em (-infty,0) e cresce em (0,infty), e em x=0 temos um mínimo local (e global) no ponto (0,0). Não há máximo local.

Passo 6

A segunda derivada é
y'' = ddxl(x^33-2x^2+4xr) = x^2-4x+4 = (x-2)^2
Como (x-2)^2>=0 para todo x e não muda de sinal em x=2, não há ponto de inflexão (não há troca de concavidade). A função é côncava para baixo em nenhum intervalo e convexa (côncava para cima) em todo o R.

Passo 7

Com esses dados, o gráfico é um “U” suave (polinômio de grau 4 sempre vai a +infty nas duas pontas), decrescendo até (0,0) e subindo depois, sem mudar de concavidade. Há um leve achatamento em x=2, mas sem inflexão.

Resposta

  • Domínio: R.
  • limxto+inftyy = +infty, limxto-inftyy = +infty
  • Interceptos: único ponto (0,0) com ambos os eixos.
  • Pontos críticos: x=0, valor y(0)=0.
  • Crescente em (0,infty); decrescente em (-infty,0).
  • Mínimo local (e global) em (0,0); não há máximo local.
  • Não há ponto de inflexão ( y'' nunca troca de sinal).
  • Concavidade para baixo: nenhum; concavidade para cima: todo R.

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