Calcular as integrais definidas
integral-3^3 x^2-4|x^2-16| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-3^3 x^2-4l|x^2-16r|,dx
O conteúdo é integração de função com valor absoluto e aproveitaremos a simetria da função para simplificar o cálculo.

Passo 2

Note que o integrando
f(x)=x^2-4l|x^2-16r|
é uma função par, pois f(-x)=f(x). Logo
integral-3^3f(x),dx =2integral0^3f(x),dx

Passo 3

Para xin[0,3] temos x^2<=9<16, então x^2-16<0 e
l|x^2-16r|=16-x^2
Assim, em [0,3],
x^2-4l|x^2-16r| =x^2-416-x^2

Passo 4

Reescrevemos o integrando como soma de termos mais fáceis:
x^2-416-x^2 =-(16-x^2)+1216-x^2 =-1+1216-x^2
Então
integral0^3x^2-416-x^2,dx =integral0^3(-1),dx +12integral0^3dx16-x^2
Para a segunda parte usamos a fórmula
integraldxa^2-x^2 =12alnl|a+xa-xr|+C,
com a=4. Assim
integral0^3dx16-x^2 =18lnl(4+34-3r) =18ln(7)

Passo 5

Juntando tudo:
integral0^3x^2-416-x^2,dx =-l[xr]0^3 +12cdot18ln(7) =-3+32ln(7)
Portanto a integral original é
2l(-3+tfrac32ln(7)r) =-6+3ln(7)

Resposta

-6+3ln(7)

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