Calcular as integrais definidas:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida $ \int_{0}^{0,6} \frac{1}{2} x \tan \left(x^{2}+1\right) , dx $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que $ x^{2} + 1 $ está dentro da função tangente. Vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Isso nos dá:
Passo 4
Queremos expressar $ x , dx $ em termos de $ du $. Dividimos ambos os lados da equação por 2:
Passo 5
Substituímos $ x , dx $ na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Determina os novos limites de integração após a substituição:
Quando $ x = 0 $:
Quando $ x = 0,6 $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Sabemos que a integral de $ \tan(u) $ é:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 8
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Passo 9
Calculamos os valores numéricos utilizando uma calculadora:
Primeiro, calculamos $ \cos(1) $ e $ \cos(1,36) $:
Então:
Calculando os logaritmos:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral definida é aproximadamente $ 0,2395 $.