Calcular as integrais definidas:
integral0^0,6 12 x tan (x^2+1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida $ \int_{0}^{0,6} \frac{1}{2} x \tan \left(x^{2}+1\right) , dx $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que $ x^{2} + 1 $ está dentro da função tangente. Vamos fazer a substituição:
x^2 + 1

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Isso nos dá:
x

Passo 4

Queremos expressar $ x , dx $ em termos de $ du $. Dividimos ambos os lados da equação por 2:
x , dx

Passo 5

Substituímos $ x , dx $ na integral original:
x , dx
Simplificando:
integral0^0,6 12 x tan(u) , dx = integralu(0)^u(0,6) 12 cdot du2 tan(u)

Passo 6

Determina os novos limites de integração após a substituição:
Quando $ x = 0 $:
x = 0
Quando $ x = 0,6 $:
u = 0^2 + 1 = 1
Então, a integral fica:
x = 0,6

Passo 7

Sabemos que a integral de $ \tan(u) $ é:
tan(u)
Aplicando isso à nossa integral:
integral tan(u) , du = -ln|cos(u)| + C

Passo 8

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
14 [ -ln(cos(1,36)) + ln(cos(1)) ]

Passo 9

Calculamos os valores numéricos utilizando uma calculadora:
Primeiro, calculamos $ \cos(1) $ e $ \cos(1,36) $:
cos(1)
cos(1,36)
Então:
cos(1) approx 0,5403
Calculando os logaritmos:
cos(1,36) approx 0,2081
14 [ -ln(0,2081) + ln(0,5403) ]
Substituindo:
-ln(0,2081) approx 1,572

Resposta

O valor da integral definida é aproximadamente $ 0,2395 $.

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