Mostre que a equação a seguir não é exata, mas se torna exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. A seguir, resolva a equação.
.
Resp:
e também
.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema nos pede para mostrar que a equação
não é exata inicialmente, mas que ela se torna exata quando multiplicamos por um fator integrante
. Depois disso, vamos resolver a equação. Vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como usar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
. Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos usar o fator integrante
para tornar a equação exata. Multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Agora, nossa nova equação é:
Passo 4
Vamos verificar se a nova equação é exata. Definindo os novos
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata após multiplicarmos pelo fator integrante.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Então, a função
é:
Passo 6
Agora, escrevemos a solução geral igualando
a uma constante:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Onde
é apenas uma nova constante.
Além disso, observando a equação original, vemos que se
, a equação também é satisfeita, então
é uma solução adicional.
Resposta
A solução geral da equação é
e também
.