Mostre que a equação a seguir não é exata, mas se torna exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. A seguir, resolva a equação.
x^2 y^3+x(1+y^2) y^prime=0, mu(x, y)=1 / x y^3.
Resp: x^2+2 ln |y|-y^-2=c e também y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema nos pede para mostrar que a equação x^2 y^3 + x(1 + y^2) y' = 0 não é exata inicialmente, mas que ela se torna exata quando multiplicamos por um fator integrante mu(x, y) = 1x y^3. Depois disso, vamos resolver a equação. Vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como usar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma M(x, y) + N(x, y) y' = 0 é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x. Aqui, temos:
M(x, y) = x^2 y^3
N(x, y) = x(1 + y^2)
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3x^2 y^2
partial Npartial x = 1 + y^2
Como 3x^2 y^2 neq 1 + y^2, a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos usar o fator integrante mu(x, y) = 1x y^3 para tornar a equação exata. Multiplicamos toda a equação original por mu(x, y):
1x y^3 cdot ( x^2 y^3 + x(1 + y^2) y' ) = 0
Simplificando:
x^2 y^3x y^3 + x(1 + y^2) y'x y^3 = 0
x + 1 + y^2y^3 y' = 0
Agora, nossa nova equação é:
x + 1 + y^2y^3 y' = 0

Passo 4

Vamos verificar se a nova equação é exata. Definindo os novos M e N:
M(x, y) = x
N(x, y) = 1 + y^2y^3
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0
partial Npartial x = 0
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata após multiplicarmos pelo fator integrante.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = x
partial Fpartial y = N = 1 + y^2y^3
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F:
F(x, y) = integral x , dx = x^22 + h(y)
Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = d h(y)d y = 1 + y^2y^3
Integrando em relação a y:
h(y) = integral 1 + y^2y^3 , dy = integral y^-3 + y^-1 , dy = -12 y^-2 + ln|y| + C
Então, a função F(x, y) é:
F(x, y) = x^22 - 12 y^-2 + ln|y| + C

Passo 6

Agora, escrevemos a solução geral igualando F(x, y) a uma constante:
x^22 - 12 y^-2 + ln|y| = C
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
x^2 - y^-2 + 2 ln|y| = C'
Onde C' = 2C é apenas uma nova constante.
Além disso, observando a equação original, vemos que se y = 0, a equação também é satisfeita, então y = 0 é uma solução adicional.

Resposta

A solução geral da equação é x^2 + 2 ln |y| - y^-2 = c e também y = 0.

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