Calcular as integrais definidas:
integral0^0,7 3 cos 2 x cdot cos (sin 2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida:
integral0^0,7 3 cos(2x) cdot cos(sin(2x)) , dx
Esse problema envolve integração definida e substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições que simplifiquem a integral e utilizar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que temos sin(2x) dentro do cosseno. Então, vamos fazer uma substituição:
u = sin(2x)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2 cos(2x) Rightarrow du = 2 cos(2x) , dx
Aqui, isolamos dx:
cos(2x) , dx = du2

Passo 4

Vamos agora substituir u e du na integral original:
integral0^0,7 3 cos(2x) cdot cos(sin(2x)) , dx = 3 integral cos(u) cdot du2 = 32 integral cos(u) , du
Simplificamos os constantes:
32 integral cos(u) , du

Passo 5

A integral de cos(u) em relação a u é sin(u), então:
32 integral cos(u) , du = 32 sin(u) + C
Agora, substituímos u de volta para termos em x:
32 sin(sin(2x)) + C

Passo 6

Como estamos lidando com uma integral definida, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 0 a 0,7:
[ 32 sin(sin(2x)) ]0^0,7 = 32 ( sin(sin(2 times 0,7)) - sin(sin(2 times 0)) )

Passo 7

Calculando os valores dentro da expressão:
Para x = 0,7:
2 times 0,7 = 1,4 Rightarrow sin(1,4) approx 0,985
sin(0,985) approx 0,836
Para x = 0:
2 times 0 = 0 Rightarrow sin(0) = 0
sin(0) = 0

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão:
32 ( 0,836 - 0 ) = 32 times 0,836 = 1,254

Resposta

O valor da integral definida é aproximadamente 1,254.

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