Seja f a função real, de variável real, definida por
f(x)=raiz[3]x^3-x^2
Podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
f é crescente forall x in R+.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta a função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}} $ e quer saber se essa função é crescente para todo número real positivo ($ \mathbb{R}_{+} $). Para descobrir isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente. Uma função é crescente em um intervalo se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta. Em termos de derivadas, se a derivada $ f’(x) $ for positiva nesse intervalo, então a função é crescente ali.

Passo 3

Então, o próximo passo é calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}} $. Para facilitar, vamos reescrever a raiz cúbica como uma potência:
f(x) = raiz[3]x^3 - x^2
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar essa função.

Passo 4

Calculando a derivada:
f'(x) = 13 (x^3 - x^2)^-23 cdot (3x^2 - 2x)
Simplificando:
f'(x) = 3x^2 - 2x3 (x^3 - x^2)^23

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ para $ x \in \mathbb{R}_{+} $. O denominador $ 3 (x^{3} - x{2}){\frac{2}{3}} $ é sempre positivo para $ x > 0 $ porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo, e multiplicado por 3 continua positivo.
Portanto, o sinal de $ f’(x) $ depende apenas do numerador $ 3x^{2} - 2x $.

Passo 6

Vamos analisar $ 3x^{2} - 2x $:
3x^2 - 2x
Para $ x > 0 $:
  • $ x > 0 $
  • $ 3x - 2 > 0 $ quando $ x > \frac{2}{3} $
Então, para $ x > 0 $:
  • Se $ x > \frac{2}{3} $, $ 3x^{2} - 2x > 0 $
  • Se $ 0 < x < \frac{2}{3} $, $ 3x^{2} - 2x < 0 $

Passo 7

Com isso, a derivada $ f’(x) $ é positiva quando $ x > \frac{2}{3} $ e negativa quando $ 0 < x < \frac{2}{3} $. Isso significa que a função $ f(x) $ está crescendo quando $ x > \frac{2}{3} $ e diminuindo quando $ 0 < x < \frac{2}{3} $.

Resposta

Portanto, a afirmação de que $ f $ é crescente para todo $ x \in \mathbb{R}_{+} $ não é verdadeira, já que a função está decrescendo no intervalo $ 0 < x < \frac{2}{3} $.

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