Seja
a função real, de variável real, definida por
Podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
é derivável
.
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função real definida por $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}} $. O conteúdo envolvido aqui é o de derivadas, especificamente sobre onde a função é derivável. Precisamos verificar se a função $ f $ é derivável para todo $ x $ em $ \mathbb{R}^{*} $ (todos os números reais menos zero).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Vamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de $ f $.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta $ h(g(x)) $, sua derivada é $ h’(g(x)) \cdot g’(x) $. Aqui, $ h(u) = u^{\frac{1}{3}} $ e $ g(x) = x^{3} - x^{2} $.
Passo 4
Vamos derivar $ h(u) $:
E derivar $ g(x) $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos analisar onde essa derivada é definida. O denominador não pode ser zero, então precisamos que:
Isso acontece quando $ x \neq 0 $ e $ x \neq 1 $.
Passo 7
Além disso, queremos que o denominador $ (x^{3} - x{2}){\frac{2}{3}} $ exista e seja real, o que já está garantido quando $ x^{3} - x^{2} \neq 0 $.
Passo 8
Portanto, a derivada $ f’(x) $ existe para todos os $ x $ em $ \mathbb{R} $ exceto quando $ x = 0 $ ou $ x = 1 $.
Passo 9
A afirmação na questão diz que $ f $ é derivável para todo $ x $ em $ \mathbb{R}^{*} $ (todos os reais menos zero). No entanto, vimos que a derivada também não existe em $ x = 1 $. Isso significa que a afirmação está incorreta, pois $ f $ não é derivável em $ x = 1 $.
Resposta
A afirmação está errada porque $ f $ não é derivável em $ x = 1 $ além de não ser em $ x = 0 $.