Seja f a função real, de variável real, definida por
f(x)=raiz[3]x^3-x^2
Podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
f é derivável forall x in R^*.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função real definida por $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}} $. O conteúdo envolvido aqui é o de derivadas, especificamente sobre onde a função é derivável. Precisamos verificar se a função $ f $ é derivável para todo $ x $ em $ \mathbb{R}^{*} $ (todos os números reais menos zero).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
f(x) = (x^3 - x^2)^13
Vamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de $ f $.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta $ h(g(x)) $, sua derivada é $ h’(g(x)) \cdot g’(x) $. Aqui, $ h(u) = u^{\frac{1}{3}} $ e $ g(x) = x^{3} - x^{2} $.

Passo 4

Vamos derivar $ h(u) $:
h(u)
E derivar $ g(x) $:
h'(u) = 13u^-23

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x) = 13(x^3 - x^2)^-23 cdot (3x^2 - 2x)
Simplificando:
f'(x) = 3x^2 - 2x3(x^3 - x^2)^23

Passo 6

Agora, vamos analisar onde essa derivada é definida. O denominador não pode ser zero, então precisamos que:
x^3 - x^2 neq 0 Rightarrow x^2(x - 1) neq 0
Isso acontece quando $ x \neq 0 $ e $ x \neq 1 $.

Passo 7

Além disso, queremos que o denominador $ (x^{3} - x{2}){\frac{2}{3}} $ exista e seja real, o que já está garantido quando $ x^{3} - x^{2} \neq 0 $.

Passo 8

Portanto, a derivada $ f’(x) $ existe para todos os $ x $ em $ \mathbb{R} $ exceto quando $ x = 0 $ ou $ x = 1 $.

Passo 9

A afirmação na questão diz que $ f $ é derivável para todo $ x $ em $ \mathbb{R}^{*} $ (todos os reais menos zero). No entanto, vimos que a derivada também não existe em $ x = 1 $. Isso significa que a afirmação está incorreta, pois $ f $ não é derivável em $ x = 1 $.

Resposta

A afirmação está errada porque $ f $ não é derivável em $ x = 1 $ além de não ser em $ x = 0 $.

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