Calcular as integrais definidas
integral0^pi / 2|sen(x)-cos (x)| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi/2 l|sin x - cos xr| , dx
O conteúdo é integração de valor absoluto: para resolver, precisamos encontrar onde a função interna muda de sinal e, em seguida, separar a integral em duas partes.

Passo 2

Determinamos o ponto onde
sin x - cos x = 0
no intervalo [0,pi/2]. Isso equivale a
sin x = cos x Longrightarrow tan x = 1 Longrightarrow x = pi4
Para 0 <= x < pi4, temos sin x < cos x e, para pi4 < x <= pi2, temos sin x > cos x.

Passo 3

Logo
l|sin x - cos xr| = cos x - sin x, & 0 <= x <= tfracpi4, sin x - cos x, & tfracpi4 <= x <= tfracpi2
Assim a integral se divide em
integral0^pi/2 |sin x - cos x|,dx = integral0^pi/4 (cos x - sin x),dx ;+; integralpi/4^pi/2 (sin x - cos x),dx

Passo 4

Calcular a primeira parte. A antiderivada de cos x - sin x é
F(x) = sin x + cos x
Portanto
integral0^pi/4 (cos x - sin x),dx = l[sin x + cos xr]0^pi/4 = l(tfracraiz22 + tfracraiz22r) - (0 + 1) = raiz2 - 1

Passo 5

Calcular a segunda parte. A antiderivada de sin x - cos x é
G(x) = -cos x - sin x
Logo
integralpi/4^pi/2 (sin x - cos x),dx = l[-cos x - sin xr]pi/4^pi/2 = l(-0 - 1r) - l(-tfracraiz22 - tfracraiz22r) = -1 + raiz2 = raiz2 - 1

Passo 6

Somando as duas parcelas:
integral0^pi/2 |sin x - cos x|,dx = (raiz2 - 1) + (raiz2 - 1) = 2raiz2 - 2 = 2(raiz2 - 1)

Resposta

2(raiz2 - 1)

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