Calcule os limites:
lim x 1 x^3-3 x^2+x+1x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1x^3-3x^2+x+1x-1
Isso é um limite de tipo 00 (polinômio sobre x-1), então podemos usar fatoração do numerador ou a regra de L’Hôpital. Vou optar pela fatoração.

Passo 2

Verificamos a forma do limite plugando x=1 diretamente:
numerador = 1^3-3cdot1^2+1+1 = 1-3+1+1 = 0,
denominador = 1-1 = 0,
logo é tfrac00.

Passo 3

Para fatorar o numerador, dividimos x^3-3x^2+x+1 por x-1 (divisão sintética com raiz 1):
coeficientes 1,,-3,,1,,1 e raiz 1 dão quociente
x^2-2x-1
e resto 0. Assim
x^3-3x^2+x+1 = (x-1),(x^2-2x-1)

Passo 4

Substituímos na expressão original e cancelamos o fator comum x-1:
x^3-3x^2+x+1x-1 = (x-1)(x^2-2x-1)x-1 = x^2-2x-1, xneq1
O limite passa a ser
limxto1(x^2-2x-1)

Passo 5

Basta avaliar em x=1:
1^2-2cdot1-1 = 1-2-1 = -2

Resposta

-2

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