Calcular as integrais definidas
integral0^2 pi(|sen(x)|+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2pil(|sen x| + xr),dx
O conteúdo envolve a propriedade de linearidade da integral e o tratamento de valor absoluto, além de integrais básicas de x e de |sen x|. Vamos usar a linearidade para separar em duas integrais.

Passo 2

Pela linearidade,
integral0^2pil(|sen x| + xr),dx = integral0^2pi|sen x|,dx ;+; integral0^2pi x,dx

Passo 3

Calcular integral0^2pi x,dx.
A primitiva de x é tfracx^22, então
integral0^2pi x,dx =[x^22]0^2pi =(2pi)^22-0 =2pi^2

Passo 4

Calcular integral0^2pi|sen x|,dx dividindo o intervalo onde sen x muda de sinal:
  • Em [0,pi], sen x>=0 então |sen x|=sen x.
  • Em [pi,2pi], sen x<=0 então |sen x|=-sen x.
    Assim,
integral0^2pi|sen x|,dx =integral0^pisen x,dx +integralpi^2pi(-sen x),dx
Calculando cada parte:
integral0^pisen x,dx =l[-cos xr]0^pi =(-cospi)-(-cos0) =(-(-1))-(-1) =2,
integralpi^2pi(-sen x),dx =l[cos xr]pi^2pi =cos(2pi)-cos(pi) =1-(-1) =2
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integral0^2pi|sen x|,dx =2+2 =4

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais:
integral0^2pil(|sen x|+xr),dx =4 + 2pi^2

Resposta

integral0^2pil(|sen x|+xr),dx = 4 + 2pi^2

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