Calcular as integrais definidas
integral0^pi 2 x sen(x^2) cos (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi 2,x,sinl(x^2r)cosl(x^2r),dx.
O conteúdo principal aqui é usar a técnica de substituição em integrais, reconhecendo que 2x,dx sugere derivada de x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2, du = 2,x,dx
Quando x varia de 0 até pi, u varia de 0 até pi^2.
A integral torna-se
integral0^pi 2,x,sinl(x^2r)cosl(x^2r),dx = integral0^pi^2 sin(u),cos(u),du
Reconhecemos que uma primitiva de sin(u)cos(u) é
12,sin^2(u),
pois ddul(tfrac12sin^2(u)r)=sin(u)cos(u).

Passo 3

Avaliaremos a primitiva em u=0 e u=pi^2:
12sin^2(u)|0^pi^2 = 12,sin^2l(pi^2r) - 12,sin^2(0) = 12,sin^2l(pi^2r)

Resposta

12,sin^2l(pi^2r)

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